Factorización de polinomios (1ºBS)

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio D(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por P(x)|Q(x)\;, si la división P(x):\,D(x)\, es exacta. Es decir, cuando

P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,

En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\,. También diremos que P(x)\, es un múltiplo de D(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;
ejercicio

Ejercicios: Factorización de polinomios de grado 2 o reducibles


1. Factoriza los siguientes polinomios de grado 2:

a) P(x)=4x^2+4x+1\;
b) Q(x)=x^2+x+1\;
c) P(x)=x^2-16x\;
d) Q(x)=4x^2-25\;
e) R(x)=5x^2+20\;

2. Factoriza el siguiente polinomio reducible a grado 2:

a) P(x)=4x^4+x^2\;


Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma ax^4+bx^2+c\;, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados


Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

ejercicio

Ejercicios: Factorización de polinomios bicuadrados


1. Factoriza el siguiente polinomio:

a) P(x)=x^4-5x^2+4\;

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

ejercicio

Ejemplo: Factorización de polinomios


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!
ejercicio

Ejercicios: Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini


1. Factoriza el siguiente polinomio:

a) P(x)=x^6-9x^5+24x^4-20x^3\;



Videotutoriales

Herramientas personales
COMPARTE ESTA WEB: