Factorización de polinomios (1ºBS)

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Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz o un cero de un polinomio P(x)\,, si P(a)\, = 0\,. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Teorema del factor


x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\; si y solo si (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de otros polinomios con menor grado que el de partida.

Normalmente buscaremos la factorización máxima, que es la que se obtiene cuando los polinomios de la descomposición son irreducibles.

Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.

Factorización sacando factor común

Si quieres recordar cómo se saca factor común, a continuación tienes el enlace:



Factorización usando productos notables

Si quieres recordar las identidades notables y cómo se factoriza usando dichas identidades, aquí tienes el enlace:



Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios


  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio y obtener la factorización.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados


Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota: Cuando al aplicar la regla de Ruffini nos quede un polinomio de segundo grado en el cociente, en vez de seguir probando por Ruffini, es preferible aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para obtener las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios


(Pág. 75)

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Ejercicios y videotutoriales

Herramientas personales
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