Números Reales (PACS)

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El conjunto de los números reales

Los números naturales se utilizan para contar y para ordenar, y con ellos podemos sumar y multiplicar. Con el paso del tiempo ha sido necesario ampliar este conjunto. Por ejemplo, para resolver la ecuación x+3=1\;, necesitamos de números enteros. Asimismo, la ecuación 3x=2\; no se basta del conjunto de los enteros para poder ser resuelta, requiere de los números racionales. Pero, ¿que ocurre si queremos resolver x^2=2\;? Surge entonces la necesidad de un conjunto más amplio de números, ya que no existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé 2. Ese conjunto va a ser el de los números reales.

El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de los números reales y se designa por \mathbb{R}.

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

\mbox{Reales } (\mathbb{R})      \begin{cases}         \mbox{Racionales }(\mathbb{Q})          \begin{cases}             \mbox{Enteros } (\mathbb{Z})                  \begin{cases}                     \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0,1,\cfrac{16} {2},\sqrt{9}\\                                \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1,-\cfrac{16} {2},\sqrt{9}                 \end{cases}\\                        \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23;\cfrac{5} {2};0.\widehat{54};-\cfrac{5} {2}         \end{cases}\\          \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi=3.141592654..., e=2.718281..., \varphi = \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988... ,\sqrt{2}=1.414213...     \end{cases}

La recta real

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos hacia la derecha y los negativos a la izquierda.

Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real, es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa.

Para su construcción se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

Representación de números sobre la recta real

Todo número real puede situarse sobre un punto de la recta real. En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos, dependiendo de cómo sea el número:

Los números racionales, al situarlos sobre la recta real, la ocupan densamente. Esto quiere decir que:

  • Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
  • Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica, hay infinitos números racionales tan cerca de él como queramos.

No obstante, en la recta real hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de esos puntos le corresponde un número irracional.

Videotutoriales sobre los números reales

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