Plantilla:Raíces

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*<math>\sqrt[n]{1}=1</math> y <math>\sqrt[n]{0}=0</math>, para cualquier valor del índice <math>n\;\!</math>. *<math>\sqrt[n]{1}=1</math> y <math>\sqrt[n]{0}=0</math>, para cualquier valor del índice <math>n\;\!</math>.

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Tabla de contenidos

Definición de raíz

Sabemos que 3^2 = 9\;\!. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como \sqrt{9}=3 y se lee 3 es igual a la raíz cuadrada de 9. En general:

  • Se define la raíz cuadrada de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^2 =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt{a}.
  • Se define la raíz cúbica de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^3 =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt[3]{a}.
  • Igualmente, se define raíz n-sima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^n =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt[n]{a}.
  • El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! es la raíz.

Propiedades de las raíces

  • \sqrt[n]{1}=1 y \sqrt[n]{0}=0, para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

Ejemplos: 
  1. \sqrt[3]{1}=1.
  2. \sqrt[5]{0}=0.
  3. \sqrt[4]{16}=\pm 2 porque (\pm 2)^4=16\;\!.
  4. \sqrt[3]{64}=4 porque 4^3=64\;\!.
  5. \sqrt[3]{-8}=-2 porque (-2)^3=-8\;\!.
  6. \sqrt[4]{-8}= no \ existe porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

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Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultaado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}
Solución:

a) Descomponemos 216=2^3 \cdot 3^3.

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6

Luego \sqrt[3]{216} es racional.

b) Descomponemos \cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}.

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4

Luego \sqrt[4]{0'0256} es racional.

c) Descomponemos 192=2^6 \cdot 3\;\!.

La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego \sqrt[3]{192} es irracional.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m
Ejemplos: 

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ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}
Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

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Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

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