Función inversa o recíproca (1ºBach)

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-[[Imagen:Inverse Function.png|thumb|150px|Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ<sup> –1</sup>. Como ƒ aplica ''a'' en 3, la inversa ƒ<sup> –1</sup> lleva 3 de vuelta en ''a''.]]+<center>[[Imagen:Inverse Function.png|thumb|150px|Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ<sup> –1</sup>. Como ƒ aplica ''a'' en 3, la inversa ƒ<sup> –1</sup> lleva 3 de vuelta en ''a''.]]</center>
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Si <math>f\;</math> es una función que lleva elementos de <math>X\;</math> en elementos de <math>Y\;</math>, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación <math>f^{-1}\;</math> que realice el camino de vuelta de <math>Y\;</math> a <math>X\;</math>. En ese caso diremos que <math>f^{-1}\;</math> es la función '''inversa''' o '''recíproca''' de <math>f\;</math>. Formalmente: Si <math>f\;</math> es una función que lleva elementos de <math>X\;</math> en elementos de <math>Y\;</math>, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación <math>f^{-1}\;</math> que realice el camino de vuelta de <math>Y\;</math> a <math>X\;</math>. En ese caso diremos que <math>f^{-1}\;</math> es la función '''inversa''' o '''recíproca''' de <math>f\;</math>. Formalmente:

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Función inversa o recíproca

Si f\; es una función que lleva elementos de X\; en elementos de Y\;, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f^{-1}\; que realice el camino de vuelta de Y\; a X\;. En ese caso diremos que f^{-1}\; es la función inversa o recíproca de f\;. Formalmente:

Sea f\; una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto X\; y cuya imagen sea el conjunto Y\;. Entonces, la función recíproca o inversa de f\;, denotada f^{-1}\;, es la función de dominio Y\; e imagen X\; definida por la siguiente regla:

f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x \,\!

ejercicio

Propiedades

  • Las gráficas de f\; y f^{-1}\; son simétricas respecto de la recta y=x.
  • La función f^{-1}\;, al igual que f\;, es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por f\; y que cumple:
a) f^{-1} \circ f = I_X
b) f \circ f^{-1}=I_Y
donde I_X\; e I_Y\; son las funciones identidad en X\; e Y\; respectivamente.
Demostración:
Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
Aumentar
Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
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