Funciones logarítmicas (1ºBach)

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<br />el <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10, <br />el <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10,
<br />y el <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7. <br />y el <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7.
-<br />Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1,&nbsp;0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (''b'',&nbsp;1) para la base ''b'', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.]]+<br />Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1,&nbsp;0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos ('''a''',&nbsp;1) para la base '''a''', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.]]
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Función logarítmica de base a

Sea a>0 \ , (a \ne 1) un número real. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad \\ \, \quad x & \rightarrow & log_a \, x \end{matrix}

La función logarítmica de base e = 2,7182...\; (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x. La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).

Propiedades

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en \mathbb{R}{}_*^+.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Si a>1\; son crecientes y si 0<a<1\; son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.

Representación gráfica de logaritmos en varias bases: el rojo representa el logaritmo en base e, el verde corresponde a la base 10, y el púrpura al de la base 1,7. Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (a, 1) para la base a, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.
Aumentar
Representación gráfica de logaritmos en varias bases:
el rojo representa el logaritmo en base e,
el verde corresponde a la base 10,
y el púrpura al de la base 1,7.
Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (a, 1) para la base a, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.

ejercicio

Actividad Interactiva: Función logarítmica

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.
Actividad:
En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) y = log_2 \, x\; (en amarillo);    b) y = a^x \; (en verde)

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia con los controles el valor de a\; (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

  • Todas pasan por los punto (1,0)\; y (a,1)\;, donde a\; es la base.
  • Si la base a>1\;, son crecientes y si 0<a<1\; decrecientes.
  • Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
  • Las gráficas son simétricas respecto de la recta y = x (en rojo).

El modelo logarítmico

ejercicio

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde S\; es la intensidad subjetiva del estímulo, I\; la intensida física del estímulo, I_0\; la intensidad física umbral y k\; es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad B\;, en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física I\; en W / m2 está dada por

B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde I_0\; la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física I\; es 100 veces la de I_0\;.

Solución:

Partimos del hecho de que I= 100 \, I_0, entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:

B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20
Solución: La sonoridad del sonido es 20 db

Calculadora

Logartitmo decimal

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Ejemplo:
  • Operación: \log \ 100


  • Procedimiento: Logaritmo decimal 100\;\! Obtener resultado


  • Solución: 2\;\!

Logartitmo neperiano

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

Ejemplo:
  • Operación: \ln \ 50


  • Procedimiento: Logaritmo neperioano 50\;\! Obtener resultado


  • Solución: 3.912023005\;\!

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones_logar%C3%ADtmicas_%281%C2%BABach%29"
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