Límite de una función en un punto (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Límite de una función en un punto
- 1.1 Aproximación a un punto
2 Límites laterales y límite de de una función en un punto
3 Continuidad de una función en un punto
4 Tipos de discontinuidades

Límite de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Aproximación a un punto

Decimos que $x\;$ tiende a $c\;$ por la izquierda ( $x \rightarrow c^-$ ) cuando a $x\;$ se le dan valores menores que $c\;$ , cada vez más próximos a $c\;$ .
Decimos que $x\;$ tiende a $c\;$ por la derecha ( $x \rightarrow c^+$ ) cuando a $x\;$ se le dan valores mayores que $c\;$ , cada vez más próximos a $c\;$ .
Decimos que $x\;$ tiende a $c\;$ ( $x \rightarrow c$ ) cuando a $x\;$ se le dan valores cada vez más próximos a $c\;$ .

La vida en la recta real (11'13") Sinopsis:

Los puntos en la recta real.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Recordando cosas importantes (11'47") Sinopsis:

Concepto de distancia entre dos puntos.
Concepto de entorno de un punto.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Límites laterales y límite de de una función en un punto

Dada una función $f(x)\;$ , cuando la variable independiente $x\;$ se aproxima a un cierto punto $c\;$ , ya sea por la derecha o por la izquierda, $f(x)\;$ va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:

Una función $f(x)\;$ tiene límite por la izquierda en un punto $c\;$ , si existe un número $L^- \in \mathbb{R}$ , de manera que cuando $x \rightarrow c^-\;$ , los correspondientes valores $f(x) \rightarrow L^-$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to c^-} f(x)=L^-$

Una función $f(x)\;$ tiene límite por la derecha en un punto $c\;$ , si existe un número $L^+ \in \mathbb{R}$ , de manera que cuando $x \rightarrow c^+\;$ , los correspondientes valores $f(x) \rightarrow L^+$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to c^+} f(x)=L^+$

Una función $f(x)\;$ tiene límite en un punto $c\;$ , si existe un número $L \in \mathbb{R}$ de manera que tanto su límite por la derecha, como su límite por la izquierda, existen y coinciden con $L\;$ , es decir, cuando $L^+=L^-=L \;$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x)=L$

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis:

Recordando el concepto de función.

Límite de una función en un punto (28'30") Sinopsis:

Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
Concepto de límite de una función en un punto.
Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.

Continuidad de una función en un punto

Continuidad de una función en un punto (13'37") Sinopsis:

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Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable (10'09") Sinopsis:

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Ejemplos: Discontinuidad evitable

1. Ejemplos (6') Sinopsis:

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2. Ejemplos (7'07") Sinopsis:

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Discontinuidad de primera especie (4'57") Sinopsis:

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Ejemplos: Discontinuidad de primera especie

1. Ejemplos (12'05") Sinopsis:

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2. Ejemplos (16'38") Sinopsis:

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Discontinuidad de segunda especie (11'06") Sinopsis:

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Criterios de continuidad (5'01") Sinopsis:

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Ejemplos: Criterios de continuidad

1. Ejemplos (13'02") Sinopsis:

40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

2. Ejemplos (13'32") Sinopsis:

21 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

3. Ejemplos (10'33") Sinopsis:

17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

4. Ejemplos (8'45") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

5. Ejemplos (15'09") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

5. Ejemplos (9'41") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

Continuidad en un intervalo (4'19") Sinopsis:

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Incremento de una función en un punto (24') Sinopsis:

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Incremento de una función en un punto y su continuidad en ese punto (6'29") Sinopsis:

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Categorías: Matemáticas | Funciones

 <center><math>\lim_{x \to c^-} f(x)=L^-</math></center>
+{{p}}
 *Una función <math>f(x)\;</math> tiene '''límite por la derecha''' en un punto <math>c\;</math>,  si existe un número <math>L^+ \in \mathbb{R}</math>, de manera que cuando  <math>x \rightarrow c^+\;</math>, los correspondientes valores <math>f(x) \rightarrow L^+</math>. Lo representaremos:
 <center><math>\lim_{x \to c^+} f(x)=L^+</math></center>
+{{p}}
-*Una función <math>f(x)\;</math> tiene '''límite''' en un punto <math>c\;</math>, si existe un número <math>L \in \mathbb{R}</math> de manera que tanto su límite por la derecha, como su límite por la izquierda, existen y coinciden con <math>L\;</math>, es decir, cuando <math>L^+=L^-=L\;</math>. Simbólicamente:
+*Una función <math>f(x)\;</math> tiene '''límite''' en un punto <math>c\;</math>, si existe un número <math>L \in \mathbb{R}</math> de manera que tanto su límite por la derecha, como su límite por la izquierda, existen y coinciden con <math>L\;</math>, es decir, cuando <math>L^+=L^-=L \;</math>. Lo representaremos:
 <center><math>\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x)=L</math></center>
+{{p}}
 }}
 {{p}}

Límite de una función en un punto (1ºBach)

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