Límite de una función en un punto (1ºBach)
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- | *Una función <math>f(x)\;</math> tiene una discontinuidad evitable en un punto <math>x=c\;</math> si | + | *Una función <math>f(x)\;</math> tiene una discontinuidad evitable en un punto <math>x=c\;</math> si existe <math>\lim_{x \to c} f(x)</math> pero éste no coincide con <math>f(c)\;</math>, bien porque <math>f(x)\;</math> no esté definida en <math>x=c\;</math> o bien porque simplemente sean distintos. |
- | existe <math>\lim_{x \to c} f(x)</math> pero éste no coincide con <math>f(c)\;</math>, bien porque <math>f(x)\;</math> no esté definida en <math>x=c\;</math> o bien porque simplemente sean distintos. | + | |
*Una función <math>f(x)\;</math> tiene una discontinuidad inevitable de salto finito (o de primera especie) si existen los límites laterales, pero estos no coinciden | *Una función <math>f(x)\;</math> tiene una discontinuidad inevitable de salto finito (o de primera especie) si existen los límites laterales, pero estos no coinciden |
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Tabla de contenidos |
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
Aproximación a un punto
- Decimos que
tiende a
por la izquierda (
) cuando a
se le dan valores menores que
, cada vez más próximos a
.
- Decimos que
tiende a
por la derecha (
) cuando a
se le dan valores mayores que
, cada vez más próximos a
.
- Decimos que
tiende a
(
) cuando a
se le dan valores cada vez más próximos a
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Los puntos en la recta real.
- Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
- Aproximación a
y
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Concepto de distancia entre dos puntos.
- Concepto de entorno de un punto.
- Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
- Aproximación a
y
.
Límite de de una función en un punto
Dada una función , cuando la variable independiente
se aproxima a un cierto punto
, ya sea por la derecha o por la izquierda,
va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:
- Una función
tiene límite por la izquierda en un punto
, si existe un número
, de manera que cuando
, los correspondientes valores
. Lo representaremos:
![\lim_{x \to c^-} f(x)=L_1](/wikipedia/images/math/3/8/a/38ad029641969a0bc4bc4fd85c0b3568.png)
- Una función
tiene límite por la derecha en un punto
, si existe un número
, de manera que cuando
, los correspondientes valores
. Lo representaremos:
![\lim_{x \to c^+} f(x)=L_2](/wikipedia/images/math/d/7/7/d77b2249e33481e8bcb8bfe833b07644.png)
- Una función
tiene límite en un punto
, si existe un número
de manera que
![\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x)=L](/wikipedia/images/math/3/7/d/37de19f62b921c9d895c97099642c929.png)
y lo representaremos:
![\lim_{x \to c} f(x)=L](/wikipedia/images/math/e/d/8/ed80e81395fb7b21643891fdd4190429.png)
Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Recordando el concepto de función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
- Concepto de límite de una función en un punto.
- Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.
Límites infinitos
El concepto de límite visto en el apartado anterior puede extenderese al caso en que, al aproximarnos al punto , la función se aproxime a
ó
.
- Una función
tiende a
por la izquierda de un punto
, si
se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando
. Lo representaremos:
![\lim_{x \to c^-} f(x)=+\infty](/wikipedia/images/math/3/7/c/37ce45aaec19bc5b47495bd9df9de669.png)
- Una función
tiende a
por la derecha de un punto
, si
se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando
. Lo representaremos:
![\lim_{x \to c^+} f(x)=+\infty](/wikipedia/images/math/f/4/6/f46c98fa74cee607d0430a3153c7e731.png)
- Una función
tiende a
en un punto
, si
![\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x)=+\infty](/wikipedia/images/math/0/9/6/096200079425def742e8d77781399386.png)
y lo representaremos:
![\lim_{x \to c} f(x)=+\infty](/wikipedia/images/math/0/2/4/02423ed3e8ab8c270551fdb78645e452.png)
- De forma análoga se puede definir la tendencia a
si cambiamos la frase "se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables" por "se aproxima a valores negativos cada vez más pequeños y no acotables", en los tres casos.
- En todos estos casos diremos que la función tiene una asíntota vertical en el punto
.
Continuidad de una función en un punto
Una función es continua en un punto
, si se cumple que:
![\lim_{x \to c} f(x)=f(c)](/wikipedia/images/math/0/c/3/0c373e48d6df16de85d88509e28a8ba2.png)
Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:
- La función
tiene límite en
:
- La función está definida en
: Existe
- Los dos valores anteriores coinciden:
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Tipos de discontinuidades
- Una función
tiene una discontinuidad evitable en un punto
si existe
pero éste no coincide con
, bien porque
no esté definida en
o bien porque simplemente sean distintos.
- Una función
tiene una discontinuidad inevitable de salto finito (o de primera especie) si existen los límites laterales, pero estos no coinciden
![\lim_{x \to c^+} f(x) \ne \lim_{x \to c^-} f(x)](/wikipedia/images/math/d/f/6/df6a635a947d9d908e6491d8cb59aada.png)
- Una función
tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito (o de segunda especie) si no existe alguno de los límites laterales, bien porque este sea infinito o porque simplemente no exista.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejemplos: Discontinuidad evitable
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejemplos: Discontinuidad de primera especie
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Ejemplos: Criterios de continuidad
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
21 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
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4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
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