Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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== Razones trigonométricas == == Razones trigonométricas ==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Caja_Amarilla|texto=Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las '''razones trigonométricas''' del ángulo <math> \alpha \, </math>, de la siguiente manera:
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-Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las '''razones trigonométricas''' del ángulo <math> \alpha \, </math>, de la siguiente manera:+
- +
* El '''seno''' (abreviado como ''sen'', o ''sin'' por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:{{p}} * El '''seno''' (abreviado como ''sen'', o ''sin'' por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:{{p}}
::<math> sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} </math> ::<math> sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} </math>

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Tabla de contenidos

Razones trigonométricas

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo \alpha \,, de la siguiente manera:

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}
  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:

cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}
  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}

ejercicio
Ejemplos

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

  • La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón recíproca del seno:

cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}
  • La secante (abreviado como sec), razón recíproca del coseno:

sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}
  • La cotangente (abreviado como cot), razón recíproca de la tangente:

cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}

ejercicio

Actividad interactiva: Razones trigonométricas

Actividad 1: Practica con las razones trigonométricas y ponte a prueba con una autoevaluación
Actividad:

  • Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.
  • Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.
  • Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.
  • Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.
Click aquí si no se ve bien la escena

Relaciones fundamentales de la trigonometría

ejercicio

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1

2. tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}
3. 1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}
Demostración:

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{a}{c} \right )^2 + \left ( \cfrac{b}{c} \right )^2 =\cfrac {a^2+b^2}{c^2}= \cfrac {c^2}{c^2}=1

ya que, por el teorema de Pitágoras, a^2+b^2=c^2\;.


2. \cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{a}{c}:\cfrac{b}{c}=\cfrac{a}{b}=tg \, \alpha


3. 1+tg^2 \, \alpha =1+\cfrac{sen^2 \, \alpha }{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{cos^2 \, \alpha + sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

donde en el último paso hemos utilizado la primera relación fundamental: sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. Sabiendo que cos \, \alpha = 0.86, calcula sen \, \alpha y tg \, \alpha.
Solución:
sen \, \alpha = 0.51

tg \, \alpha=0.59
2. Sabiendo que tg \, \alpha= 2.83, calcula cos \, \alpha y sen \, \alpha
Solución:
cos \, \alpha = 0.33

sen \, \alpha=0.93

Calculadora

Funciones trigonométricas (directas)

Seno

Calculadora

Calculadora: Seno

Para calcular el seno de 30º usaremos la tecla Seno. La calculadora debe estar en modo DEG (grados sexagesimales).

Ejemplo:
  • Operación: sen \, 30^o\;


  • Procedimiento: Seno 30\;\! Obtener resultado


  • Solución: 0.5\;\!

Coseno

Calculadora

Calculadora: Coseno

Para calcular el coseno de 120º usaremos la tecla Coseno. La calculadora debe estar en modo DEG (grados sexagesimales).

Ejemplo:
  • Operación: cos \, 120º


  • Procedimiento: Coseno 120 Obtener resultado


  • Solución: -0.5\;\!

Tangente

Calculadora

Calculadora: Tangente

Para calcular el tangente de 45º usaremos la tecla Tangente. La calculadora debe estar en modo DEG (grados sexagesimales).

Ejemplo:
  • Operación: tg \, 45^o\;


  • Procedimiento: Tangente 45\;\! Obtener resultado


  • Solución: 1\;\!

Funciones trigonométricas (inversas)

Aco seno

Calculadora

Calculadora: Arco seno

Para calcular el ángulo a partir del valor del seno usaremos la tecla Seno.

Ejemplo:
  • Operación: arcsen \,\, 0.5\;


  • Procedimiento: Shift Seno 0.5\;\! Obtener resultado


  • Solución: 30^o\;. Si la calculadora está en modo DEG (grados sexagesimales).

Nota: La calculadora sólo da un valor del ángulo (el que se encuentra entre -90º y 90º). Hay otra solución en el segundo o tercer cuadrante que se obtiene restando a 180º la solución obtenida. En este ejemplo, la otra solución sería 180º-30º=150º.

Arco coseno

Calculadora

Calculadora: Arco coseno

Para calcular el ángulo a partir del valor del coseno usaremos la tecla Coseno.

Ejemplo:
  • Operación: arccos \,\, 0.5


  • Procedimiento: Shift Coseno 0.5\;\! Obtener resultado


  • Solución: 60^o\;. Si la calculadora está en modo DEG (grados sexagesimales).

Nota: La calculadora sólo da un valor del ángulo (el que se encuentra entre 0º y 180º). Hay otra solución en el tercer o cuarto cuadrante que se obtiene restando a 360º la solución obtenida. En este ejemplo, la otra solución sería 360º-60º=300º.

Arco tangente

Calculadora

Calculadora: Arco tangente

Para calcular el ángulo a partir del valor de la tangente usaremos la tecla Tangente.

Ejemplo:
  • Operación: arctg \,\, 1\;


  • Procedimiento: Shift Tangente 1\;\! Obtener resultado


  • Solución: 45^o\;\!. Si la calculadora está en modo DEG (grados sexagesimales).

Nota: La calculadora sólo da un valor del ángulo (el que se encuentra entre -90º y 90º). Hay otra solución en el segundo o tercer cuadrante que se obtiene sumando 180º a la solución obtenida. En este ejemplo, la otra solución sería 180º+45º=225º.

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