Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Revisión de 17:36 17 mar 2009

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Condición para que tres puntos estén alineados
4 Punto medio de un segmento
5 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia en el que la base es ortonormal.

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos un punto $P\,$ y su vector de posición $\overrightarrow{OP}$ de coordenadas $(4,3)\,$ respecto de una base ortonormal $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ .

Actividad:

Entonces, el punto $P\,$ tendrá coordenadas $(4,3)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ .

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia los valores de a y b y podrás ver cómo a cualquier otro punto $P\,$ , le corresponde otro vector $\overrightarrow{OP}$ .

Observa cómo las coordenadas de $\overrightarrow{OP}(a,b)$ y lass del punto $P(a,b)\,$ son siempre las mismas.

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:

Partimos de que

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto,

$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)$

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos dos puntos $A(4,8)\,$ y $B(7,2)\,$ que dan lugar al vector $\overrightarrow{AB}$ .

Actividad:

Las coordenadas del vector se calculan de la siguiente manera:

$\overrightarrow{AB}=(7,2)-(4,8)=(7-4,2-8)=(3,-6)$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios:

1. Ahora le vas a mover los puntos $A\,$ y $B\,$ para que sus coordenadas tomen los distintos valores que se muestran a continuación. Anótalos, calcula las coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$ en cada caso y después compruébalo en la escena:

a) $A=(4,8)\, ; \quad B=(6,4)$

b) $A=(5,6)\, ; \quad B=(7,2)$

c) $A=(8,0)\, ; \quad B=(5,6)$

2. ¿Cuáles son las coordenadas del vector $\overrightarrow{BA}$ ? Anótalo en tu cuaderno.(Ayuda: Coloca el punto $A\,$ donde está el $B\,$ y viceversa).

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones de $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(11,4)\,$ , están alineados.

Actividad:

Vamos a comprobar que las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ son proporcionales, y que por tanto, los tres puntos están alineados.

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \quad \rightarrow \quad \cfrac{-1-(-7)}{11-(-1)}=\cfrac{0-(-2)}{4-0} \quad \rightarrow \quad \cfrac{6}{12}=\cfrac{2}{4}$

En efecto, están alineados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Realiza los cálculos necesarios para comprobar que los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(5,2)\,$ , están alineados. Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto $C\,$ .

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos $P(1,4)\,$ , $Q(5,-2)\,$ y $R(m,n)\,$ . Vamos a variar $m\,$ y $n\,$ , para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Actividad:

Moviendo adecuadamente el punto $R\,$ , o cambiando los valores de $m\,$ y/o $n\,$ , puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.

Mueve el punto $R\,$ , para que sea $m=6n\,$ , y esté alineado con $P\,$ y $Q\,$ . Anota en tu cuaderno el valor de $n\,$ obtenido.
Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de $n\,$ que hemos observado en el apartado anterior:

$\overrightarrow{PQ}=(5-1,-2-4)=(4,-6); \quad \overrightarrow{QR}=(6-5,n+2)=(1,n+2)$

$\cfrac{4}{1}=\cfrac{-6}{n+2} \quad \rightarrow \quad n+2= -\cfrac{6}{4} \quad \rightarrow \quad n= -3.5$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

1. Ahora mueve el punto $R\,$ para que sea $n=6\,$ , y esté alineado con $P\,$ y $Q\,$ . Anota en tu cuaderno el valor de $m\,$ obtenido.

Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de $m\,$ que has observado en el apartado anterior.

2. Mueve en la escena el punto $R\,$ en un lugar cualquiera que haga que los tres puntos estén alineados, y después de anotar las coordenadas de $R\,$ observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{QR}$ son proporcionales.

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:

Sea $M=(x_3,y_3)\,$ el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Tenemos que:

$\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow$

$\rightarrow \begin{cases} x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} \\ y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Simétrico de un punto respecto de otro

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:

El punto $P(a,b)\,$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ . Aplicando la fórmula del punto medio:

$P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow \begin{cases} a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x \\ b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Actividad interactiva: Punto medio y punto simétrico

Cálculo del punto medio de un segmento del plano.
Cálculo del punto simétrico de un punto dado respecto de otro.

Actividad:

En la siguiente escena tenemos el punto medio de un segmento de extremos $A(2,4)\,$ y $B(7,2)\,$ .

$M=\Big( \cfrac{2+7}{2}, \cfrac{4+2}{2} \Big)=(4.5,3)$

Moviendo con el ratón los puntos A y/o B podrás comprobar cuáles son las coordenadas del punto medio M, de cualquier otro segmento AB. También te vale para comprobar el punto simétrico de otro punto respecto de uno dado.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios:

Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(-3,7)\,$ y $B(7,-1)\,$ . Comprueba el resultado en la escena anterior.
Calcula en tu cuaderno el simétrico, $P'\,$ , del punto $P(8,4)\,$ respecto de $Q(4,1)\,$ . Compruébalo en la escena.

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de '''m''' y/o '''n''', puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.
+Moviendo adecuadamente el punto <math>R\,</math>, o cambiando los valores de <math>m\,</math> y/o <math>n\,</math>, puedes conseguir que los tres puntos estén en la misma recta azul, o sea, alineados.
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+#Los siguientes cálculos nos permiten hallar el valor de <math>n\,</math> que hemos observado en el apartado anterior:
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 '''Ejercicio:'''
-. Ahora mueve el punto <math>R\,</math> para que sea '''n=6''', y esté alineado con <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>. Anota en tu cuaderno el valor de '''m''' obtenido.
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+Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de <math>m\,</math> que has observado en el apartado anterior.
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