Plantilla:Progresiones geométricas
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Tabla de contenidos |
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón
Por ejemplo:
es una progresión geométrica de razón r=2.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
Sean términos de una progresión geométrica de razón
.
Entonces se cumple que:
|
En efecto, razonando por inducción:
![a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!](/wikipedia/images/math/d/9/9/d9937eba41d8c160675d7124f7d3ea98.png)
........................
![a_n = a_1 \cdot r^{n-1}](/wikipedia/images/math/3/f/3/3f36a41c2e5453c7652fd1786b8c2f7a.png)
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
|
Efectuamos la siguiente resta:
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
![S_n(r-1)=a_n r-a_1\;](/wikipedia/images/math/0/7/9/079ca399d5f05beecf41ad4e6e792444.png)
y despejando
![S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}](/wikipedia/images/math/b/e/2/be2a9c31a9b8db2573a10d643154e146.png)
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así:
|
La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis. Lo podremos ver con detalle, más adelante en este tema, en un apartado titulado Algunos límites importantes.
Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito.
![S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}](/wikipedia/images/math/f/6/b/f6bee972752d52c33759bd3880051a7d.png)
Como , cuando n tiende a infinito,
tiende a 0.
![S_n\;](/wikipedia/images/math/4/6/f/46f70753e336acca1b4680fce01f4f03.png)
![\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}](/wikipedia/images/math/4/4/c/44c884d70b8daf9d1bbc54f5ceb6d73a.png)
![S_n\;](/wikipedia/images/math/4/6/f/46f70753e336acca1b4680fce01f4f03.png)
![S_{\infty}](/wikipedia/images/math/1/3/5/1351f873f925a603cd2cbe181184ed55.png)