Plantilla:Def progresion geometrica

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 12:30 14 sep 2016

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, $r\;\!$ , que llamaremos razón

Por ejemplo:

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión geométrica de razón $r\;\!$ .

Entonces se cumple que:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

$a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!$

$a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!$

$a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!$

........................

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

$a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1$

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ . [1]

Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:

$a_{n+1}=a_n \cdot r \;$ [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

$a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}$

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

Progresiones geométricas (11'41") Sinopsis:

Definición de progresión geométrica.
Ejemplos.
Término general de una progresión geométrica.

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Def_progresion_geometrica"

 es una progresión geométrica de razón r=2.
+{{p}}
+===Término general de una progresión geométrica===
+{{Teorema
+|titulo=''Término general de una progresión geométrica''
+|enunciado=
+:Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión geométrica de razón <math>r\;\!</math>.
+:Entonces se cumple que:
+{{Caja|contenido=
+<math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>
+}}
+{{p}}
+|demo=
+En efecto, de forma intuitiva:
+<center><math>a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!</math>
+<math>a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!</math>
+<math>a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!</math>
+........................
+<math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math></center>
+--------------
+'''Demostración por el método de inducción completa:'''
+Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
+Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
+<center><math>a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1</math></center>
+con lo que queda comprobada para n=1.
+Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:
+<center><math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>.{{b4}}[1]</center>
+Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:
+<center><math>a_{n+1}=a_n \cdot r \;</math>{{b4}}[2]</center>
+Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
+<center><math>a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}</math></center>
+{{p}}
+Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace
+|titulo1=Progresiones geométricas
+|duracion=11'41"
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/05-sucesion-geometrica#.VCamUvl_u2E
+|sinopsis=*Definición de progresión geométrica.
+*Ejemplos.
+*Término general de una progresión geométrica.
+}}

Plantilla:Def progresion geometrica

De Wikipedia

Revisión de 12:30 14 sep 2016

Término general de una progresión geométrica

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas