Plantilla:Raiz de primo es irracional
De Wikipedia
| Revisión de 11:25 10 sep 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 09:40 18 sep 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 2: | Línea 2: | ||
| |titulo=Proposición | |titulo=Proposición | ||
| |enunciado= | |enunciado= | ||
| - | :Si <math>p\;</math> es un número primo, entonces el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{p} \,</math>}} no es racional. | + | Si <math>p\;</math> es un número primo, entonces el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{p} \,</math>}} no es racional. |
| |demo= | |demo= | ||
| La demostración es análoga a la de que raíz de 2 es irracional. | La demostración es análoga a la de que raíz de 2 es irracional. | ||
Revisión de 09:40 18 sep 2016
Proposición
Si 
es un número primo, entonces el número
no es racional.
La demostración es análoga a la de que raíz de 2 es irracional.
Lo haremos, igualmente, "por reducción al absurdo". Supondremos que es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción que es igual a.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por 
los dos miembros de la igualdad:
[1]Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.
Como es un cuadrado perfecto, el factor o no aparece o lo hace un número par de veces. Entonces, por la expresión [1], el factor primo aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto 
, lo cual no es posible.
Ya hemos llegado al absurdo.
Irracionalidad de la raíz de un número primo (12´06") Sinopsis: Videotutorial con otra demostración de la irracionalidad de la raíz de un número primo.
