Plantilla:Dominio e imagen de una función

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==Dominio e imagen de una función== ==Dominio e imagen de una función==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Definición: Dominio e imagen}}
-*Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente <math>x\;</math>, se le llama '''dominio de definición''' de la función. Lo representaremos por <math>D_f\;</math> ó <math>Dom_f\;</math>+
-*La '''imagen''', '''rango''' o '''recorrido''' de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente <math>y\;</math>. Lo representaremos por <math>Im_f\;</math> o <math>R_f\;</math>.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace2+{{AI: Dominio e imagen}}
-|titulo1=Dominio de definición de una función+
-|duracion=8'51"+
-|sinopsis=+
-*Dominio de definición de una función.+
-*Interpretación gráfica del dominio.+
-*Necesidad de saber el dominio de una función.+
-*Ejemplos.+
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0134.htm+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Dominio e imagen''|cuerpo=+{{Wolfram: Dominio e imagen}}
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Determina el dominio y la imagen de las siguientes funciones.+
-|actividad=+
-a) Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables: +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/dominio_1.html+
-width=500+
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-</iframe></center>+
- +
-Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X,¿Cuál es su dominio y su imagen?+
- +
-b) Observa esta otra escena y procedede como antes:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/dominio_2.html+
-width=500+
-height=adjust+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-¿Cuál es su dominio y su imagen?+
- +
-c) Haz lo mismo con esta tercera escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/dominio_3.html+
-width=500+
-height=adjust+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-¿Cuál es su dominio y su imagen?+
- +
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-===Razones para restringir el dominio de una función===+===Determinación del dominio de una función===
-*Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de <math>x\;</math> (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos,...)+{{Determinación del dominio de una función}}
-*Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)+
-*Por voluntad de quien propone la función.+
-{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Dominio de definición de una función''+
-|enunciado=+
-:Halla el dominio de las funciones:+
-::a) <math>y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!</math>+
- +
-::b) <math>y=\cfrac{1}{x-1}</math>+
- +
-::c) <math>y=\sqrt{x}</math>+
- +
-::d) <math>A=l^2\;</math> (Área de un cuadrado de lado <math>l\;</math>)+
-|sol=+
-:a) Su dominio es <math>[-1,1]\;\!</math>, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de <math>x\;</math> da un valor de <math>y\;</math> válido.+
- +
-:b) Su dominio es <math>\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}</math>, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.+
- +
-:c) Su dominio es <math>\mathbb{R^+}</math>, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.+
- +
-:d) Su dominio es <math>(0, + \infty)</math>, porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos +
-}}+
-{{p}}+
-===Cálculo del dominio de una función===+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Reglas "Sagradas" del Cálculo+
-|duracion=3'43"+
-|sinopsis=+
-*Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Aquí las vamos a recordar. +
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0132.htm+
-}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=De las funciones y de las serpientes+
-|duracion=9'01"+
-|sinopsis=+
-*Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.+
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0133.htm+
-}}+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=Ejemplos de "serpientes" peligrosas... o no+
-|duracion=14'53"+
-|sinopsis=+
-*Ejemplos de algunas funciones "peligrosas" y de otras que no presentan ningún problema a la hora, por ejemplo, de calcular su dominio.+
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0133_01.htm+
-}}+
-{{p}}+
-{{ejemplo2+
-|titulo=Ejemplos: ''Dominio de definición de una función''+
-|enunciado=+
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=1. Ejemplos+
-|duracion='"+
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+
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-{{Video_enlace2+
-|titulo1=2. Ejemplos+
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-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+
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-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+
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-}}+
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-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios: ''Dominio e imagen''+
-|cuerpo=+
- +
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''1. '''Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.<br>+
-a)[[Imagen:funcion1a.png]]b)[[Imagen:funcion1b.png]]c)[[Imagen:funcion1c.png]]<br>+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-a) Es función. <math>D=[-3.5, 4]\;\!</math>. <math>Im=[-4, 3]\;\!</math>.+
-b) No es función.<br>+
-c) No es función.<br>+
-}}+
-}}+

Revisión actual

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Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

ejercicio
Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".
  • Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: Dom_f=[0,100]\;
  • Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: Im_f=[0,200]\;

video
Dominio e imagen de una función
Tutorial (10'16")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'11")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'23")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'26")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'33")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 5 (4'38")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Halla la imagen de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'24")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'20")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'53")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'34")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de un enunciado:

Ejercicio 1 (2'19")     Sinopsis:

Pati tiene una hermosa planta. La planta empezó a retoñar 2 días antes de que Pati la comprara, y la tuvo por 98 días antes de que muriera. La altura máxima que alcanzó a planta fue de 30 cm. Si denotamos por h(t) la altura de la planta en cm tras transcurrir t días desde el día de la compra, indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 2 (3'09")     Sinopsis:

Thomas tiene 400 barras de caramelo en su tienda, y cada una cuesta $0.50. Sea p(b) el precio, medido en pesos ($), de la compra de b barras de caramelo. Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 3 (4'25")     Sinopsis:

Mason está parado en el 5º escalón de una escalera vertical. La escalera tiene 15 escalones y la diferencia de altura entre escalones consecutivos es de 0.5 m. Él está pensando si sube, baja o se queda quieto. Sea h(n) la altura por encima del nivel del suelo de los pies de Mason (medido en metros) después de moverse n escalones (si Mason bajara n escalones , n es negativa). Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Imagen y antiimagen:

Ejercicio 1 (1'30")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 2 (1'46")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 3 (2'49")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 4 (2'28")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 5 (1'45")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función g(x), halla la antiimagen de -2, es decir, el valor de x para el cual g(x) = -2.

Ejercicio 6 (2'18")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función f(x), halla el valor de x, además de -5, para el cual f(x) = f(-5).

Ejercicio 7 (2'14")     Sinopsis:

Dada la función f(t) = -2t + 5, halla la antiimagen de 13, es decir, el valor de t para el cual f(t) = 13.

video
Dominio e imagen de una función
Actividad 1a     Descripción:

Actividades en las que aprenderás de forma visual los conceptos de dominio y recorrido de una función.

Actividad 2     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X, ¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 3     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 4     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 5     Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Autoevaluación 1     Descripción:

Dominio y rango a partir de gráficas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Dominio de una función dada por un enunciado.

Imagen y antiimagen:

Actividad     Descripción:

Actividades con las que aprenderás los conceptos de imagen y antiimagen.

Autoevaluación 1     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la gráfica de la función.

Autoevaluación 2     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la expresión analítica de la función.

wolfram
Dominio e imagen de una función
wolfram

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\sqrt{x}.
b) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\frac{1}{x}.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Domain and range sqrt(x)
b) Domain and range 1/x

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Determinación del dominio de una función

El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).

ejercicio

Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)
Solución:
a) Su dominio es [-1,1]\;\!, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de x\; da un valor de y\; válido.
b) Su dominio es \mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
c) Su dominio es \mathbb{R^+}, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
d) Su dominio es (0, + \infty), porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

video
Dominio de una función dada por una expresión analítica
Tutorial 1a (8´10")     Sinopsis:

Intervalos. Notación.

Tutorial 1b (9´45")     Sinopsis:

Dominio de una función.

Tutorial 1c (6´01")     Sinopsis:

Rango o imagen de una función.

Tutorial 2 (13´00")     Sinopsis:

Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos

Tutorial 3 (43'57")     Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Ejercicio 1 (0'48")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=2x^2+5\;.

Ejercicio 2 (1'34")     Sinopsis:

Halla el dominio de n(x)=\cfrac{x^2}{x+2}-5\;.

Ejercicio 3 (1'11")     Sinopsis:

Halla el dominio de h(x)=\cfrac{3x}{x-5}\;.

Ejercicio 4 (1'14")     Sinopsis:

Halla el dominio de m(x)=\sqrt{2x-6}\;.

Ejercicio 5 (1'02")     Sinopsis:

Halla el dominio de g(x)=\sqrt{x+4}\;.

Ejercicio 6 (1'52")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=\sqrt{2x-8}\;.

Dominio de una función dada por una expresión analítica     Descripción:

Dominio de una función dada por su expresión analítica.

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