Funciones lineales: Función de proporcionalidad directa

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Tabla de contenidos

1 Función de proporcionalidad directa
2 Pendiente de una recta
- 2.1 La pendiente y el crecimiento
- 2.2 Cálculo de la pendiente
3 Ejercicios

Función de proporcionalidad directa

Una función de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión analítica es:

$y=m \cdot x$

$x\;\!$ e $y\;\!$ son las variables.
$m\;\!$ una constante que se denomina constante de proporcionalidad o pendiente.

Función de proporcionalidad directa Descripción:

En esta escena podrás ver la gráfica de la función de proporcionalidad directa y sus propiedades.

Propiedad

La gráfica de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Si $m=1\,$ , la función que se obtiene, $y=x\,$ , recibe el nombre de función identidad y es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Pendiente de una recta

La pendiente y el crecimiento

Proposición

La pendiente $m\,$ de una recta mide la inclinación de la misma, de manera que:

Si $m>0\,$ , la función es creciente.
Si $m<0\,$ la función es decreciente.
Si $m=0\,$ la función es constante (recta horizontal).

La pendiente y el crecimiento Descripción:

En esta escena podrás ver como afecta el signo de la pendiente a su crecimiento.

Cálculo de la pendiente

La pendiente de una función de proporcionalidad directa se puede hallar de la siguiente manera:

Cálculo de la pendiente

Consideremos una función de proporcionalidad directa $y=m \cdot x\;$ , y sea $A(x_1,y_1)\;$ , con $x_1 \ne 0$ , un punto de la recta que la representa, entonces

$m=\cfrac {y_1}{x_1}$

Demostración:

Es inmediato, pués si $A(x_1,y_1)\;$ es un punto de la recta $y=mx\;$ , cumplirá su ecuación:

$y_1=m \cdot x_1$

Despejando, tenemos:

$m=\cfrac {y_1}{x_1}$

Cálculo de la pendiente de una función de proporcionalidad directa Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la pendiente de una función de proporcionalidad directa y como se obtiene su ecuación.

Actividades Interactivas: Cálculo de la pendiente

Averigua el valor de la pendiente de una recta.

Actividad:

Consideremos la función $y=mx\;\!$ , cuya pendiente es $m\,$ .

La pendiente de una recta tiene mucha relación con las coordenadas de los puntos por donde pasa.

En la siguiente escena tienes que seleccionar el número que corresponde a la pendiente de la recta azul fijándote en las coordenadas del punto rojo de la recta.

Para dar valores a $m\;\!$ puedes escribir números decimales o fracciones como 5/7 ó -1/2 y pulsar la tecla Intro. Si aciertas verás la expresión de la función con color azul, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo. Después de cada acierto pulsa el botón animar para que salga una nueva recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios

Ejercicio: Función lineal

1. Un grifo, con un caudal de 5 $d m 3$ por minuto, vierte agua en una piscina.

a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-volumen.

b) Halla la expresión algebraica de la función.

c) Representa gráficamente la función.

Solución:

a) Tabla de valores:

tiempo (min)	0	1	2	3	4	5	6
Volumen $(d m 3)$	0	5	10	15	20	25	30

b) $V=5t\;$ (

V

d m 3

;

t

en minutos)

c) Representación gráfica: Como se trata de una función de proporcionalidad directa, su gráfica es una recta que pasa por el origen. Sólo tendremos que representar dos puntos y unirlos mediante una línea recta. Sólo se representan los valores $t \ge 0\,$ y que los valores negativos no pertenecen al dominio de esta función.

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones_lineales:_Funci%C3%B3n_de_proporcionalidad_directa"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 {{ejercicio_cuerpo
 |enunciado=
-'''1. '''Un grifo, con un caudal de 5 <math>dm^3</math> por minuto, vierte agua en un estanque.
+'''1. '''Un grifo, con un caudal de 5 <math>dm^3</math> por minuto, vierte agua en una piscina.
-:a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-capacidad.
+:a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-volumen.
-:b) Representa gráficamente la función.
+:b) Halla la expresión algebraica de la función.
-:c) Halla la expresión algebraica de la función.
+:c) Representa gráficamente la función.
 {{p}}
 |sol={{p}}
  </tr>
  <tr>
-   <td>'''capacidad''' <math>(dm^3)</math></td>
+   <td>'''Volumen''' <math>(dm^3)</math></td>
    <td>{{b}} 0 {{b}}</td>
    <td>{{b}} 5 {{b}}</td>
 {{p}}
-:b) Representación gráfica:
+:b) <math>V=5t\;</math> (<math>V</math> en <math>dm^3</math>; <math>t</math> en minutos)
+:c) Representación gráfica: Como se trata de una función de proporcionalidad directa, su gráfica es una recta que pasa por el origen. Sólo tendremos que representar dos puntos y unirlos mediante una línea recta. Sólo se representan los valores <math>t \ge 0\,</math> y que los valores negativos no pertenecen al dominio de esta función.
 {{p}}
-[[Imagen:grifo.png|center|250px]]
+[[Imagen:grifo.png|center|350px]]
-:c) <math>C=5t</math> (<math>C</math> en <math>dm^3</math>; <math>t</math> en minutos)
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 }}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

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