Función inversa o recíproca (1ºBach)
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- | ==Inversas de las funciones trigonométricas== | ||
- | La función seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo <math>[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]</math> entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos '''arcoseno'''. | ||
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- | {{Caja_Amarilla|texto=La función '''arcoseno''' se define como | ||
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- | <center><math> | ||
- | \begin{matrix} | ||
- | f:[-1,1] \rightarrow [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,] | ||
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- | \\ | ||
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- | \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arcsen(x) | ||
- | \end{matrix}</math></center> | ||
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- | donde <math>arcsen(x)\;</math> es el ángulo comprendido entre <math>-\cfrac{\pi}{2}</math> y <math>\cfrac{\pi}{2}</math> tal que su seno es igual a <math>x\;</math> | ||
- | }} | ||
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Tabla de contenidos |
(Pág. 259)
Función inversa o recíproca
Si es una función que lleva elementos de en elementos de , en ciertas condiciones será posible definir la aplicación que realice el camino de vuelta de a . En ese caso diremos que es la función inversa o recíproca de . Formalmente:
Comprendiendo las funciones inversas (6'11") Sinopsis: Introducción a las funciones inversas. Propiedades Sea una función y su inversa:
donde e son las funciones identidad en e respectivamente. |
Obtención de la expresión analítica de la función inversa
Procedimiento
Para intentar hallar la expresión analítica de la inversa de y=f(x):
- Se despeja (si se puede) la variable "x" para ponerla en función de la variable "y".
- Se intercambian las dos incógnitas (donde aparece "x" se pone "y" y viceversa).
- La expresión resultante es la de la función inversa de f.
1 ejemplo sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.
2 ejemplos sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.
Algunos ejemplos sobre el cálculo de la función inversa y sobre la composición de funciones.
Obtención de la función inversa de previa demostración de su inyectividad.
1 ejemplo sobre el cálculo de la función inversa de una función trigonométrica.
Ejemplo: Función inversa
Halla la función inversa de la función definida por :
Como la función no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:
En la siguiente escena puedes ver (en verde), (en amarillo), y (en turquesa):
En esta escena podrás introducir la expresión analítica de una función y obtener la expresión analítica de su inversa, así como ver sus respectivas representaciones gráficas. También se te propondrán algunas actividades.
Ejemplo sobre el cálculo del rango o recorrido de una función mediante el cálculo del dominio de su función inversa.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Función inversa o recíproca |