Plantilla:Reglas de derivación (1ºBach)

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Revisión de 10:08 16 ene 2017

Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

Derivada de las funciones elementales

Reglas de derivación

Función constante:

$D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}$

Función identidad:

$D(x)=1\;$

Función potencia:

$D(x^n)=n \, x^{n-1}\;$

Funciones trigonométricas directas:

$D(sen\,x)=cos \, x$

$D(cos\,x)=-sen \, x$

$D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Funciones trigonométricas recíprocas:

$D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}$

Funciones exponenciales:

$D(e^x)=e^x\;$

$D(a^x)=a^x \cdot ln\,a$

Funciones logarítmicas:

$D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}$

$D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}$

Ejemplos:

$f(x)=x^5 \ \rightarrow \ f'(x)=5x^4$
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{2} \, x^{(\frac{1} {2}-1)}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=2^x \ \rightarrow \ f'(x)=2x^\cdot ln \, x$
$f(x)=log_2 \,x \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,2}$

Derivada de operaciones con funciones

Reglas de derivación

Producto de una función por una constante:

$D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ 5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2$

Suma de funciones:

$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=$

$=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;$

Producto de funciones:

$D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)$

$=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x$

Cociente de funciones:

$D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;$

Ejemplo:

$f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=$

$=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}$

Composición de funciones (Regla de la cadena):

$D\{g[f(x)]\}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;$

Ejemplo:

$f(x)=sen^2 x \ \rightarrow \ f'(x)=2 \, sen \, x \cdot D[sen \, x]=2 \, sen \, x \cdot cos \, x$

Ejercicios resueltos: Reglas de derivación

Halla la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=2x^3-5x^2+3x-2\;$
$g(x)=\sqrt{2x} + \sqrt[3]{5x^2}$
$h(x)=\cfrac{1}{x \sqrt{x}}$
$i(x)=2^{3x}\;$
$j(x)=\cfrac{x^3}{x^2+1}$

Solución:

$f'(x)=6x^2-10x+3\;$
$g'(x)=\cfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}+\cfrac{2\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x}}$
$h'(x)=-\cfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
$i'(x)=8^x \cdot ln \, 8$
$j'(x)=\cfrac{x^4+3x^2}{x^4+2x^2+1}$

Función derivada primera de otra función. Reglas de derivación (9'22") Sinopsis:

Definición de la función derivada de una función. Las reglas de derivación nos permiten calcular dericvadas sin calcular límites.

Ejemplos (15'36") Sinopsis:

22 ejemplos sencillos de aplicación de las reglas de derivación.

Derivación de funciones compuestas (6'14") Sinopsis:

Regla de la cadena

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