Plantilla:Ecuaciones exponenciales

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Revisión de 09:23 4 may 2017

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;$

b) $5^{x^2-5x+6}=1 \;$

c) $3^{1-x^2}=2\;$

d) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:

a)

$3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

$3^{1-x^2}=3^{-3}$

Como $a^x = a^y \iff x=y$ , los exponentes deben ser iguales:

$1-x^2=-3\;$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2$

Soluciones: $x_1=2 \, \ x_2=-2$

b)

$5^{x^2-5x+6}=1 \;$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:

$5^{x^2-5x+6}=5^0 \;$

Como $a^x = a^y \iff x=y$ , los exponentes deben ser iguales:

$x^2-5x+6=0 \;$

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}$

Soluciones: $x_1=2 , \ x_2=3;$

c)

$3^{1-x^2}=2\;$

Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:

$log \ 3^{1-x^2}= log \ 2$

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:

$(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075$

Soluciones: $x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075$

d)

$2^x+2^{x+1}=12\;$

Haciendo el cambio de variable:

$2^x=y \;$

tenemos que:

$2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;$

Y la ecuación de partida queda:

$y+2y=12\;$

Resolvemos la ecuación de primer grado:

$3y=12 \rightarrow y = 4 \;$

Y deshacemos el cambio de variable:

$y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;$

Solución: $x=2 \;$

Ecuaciones exponenciales

Actividad: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $3^x=\sqrt[3]{9} \;$

b) $2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \;$

c) $9^x-3^x-6=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve 3^x=3th root (9) over the reals

b) solve 2^(2x)-5*2^x+4=0 over the reals

c) solve 9^x-3^x-6=0 over the reals

Ejemplos: Ecuaciones exponenciales

Ejemplos 1 y 2 (6'30") Sinopsis:

Resuelve:

a) $4^{2x-5}=64\;$

b) $7^{3-x}=5^{x+1}\;$

Ejemplo 3 (5'01") Sinopsis:

Resuelve:

$8^{x+2} \cdot 4^{x-6} =16\;$

Ejemplo 4 (7'29") Sinopsis:

Resuelve:

$12^{x-2} = 4^x\;$

Ejemplo 5 (6'39") Sinopsis:

Resuelve:

$9^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{x+2} = 27 \cdot (3^x)^{-2}\;$

Ejemplo 6 (6'23") Sinopsis:

Resuelve:

$3^{2x} + 9=10\cdot 3^x\;$

Ejemplo 7 (10'27") Sinopsis:

Resuelve:

$2^{2x+2} = 9 \cdot 2^x -2\;$

Ejemplo 8 (8'47") Sinopsis:

Resuelve:

$\left( \frac{4}{10} \right) ^{x-1} = \left( \frac{625}{100} \right) ^{6x-5}\;$

Solución:

{{{sol}}}

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_exponenciales"

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