Correspondencia

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*Sea <math>x \in A\;</math>, al elemento de B que se corresponda con <math>x\;</math> lo representaremos por <math>f(x)\;</math> y se leerá "''imagen de x según f'' ". (Notación introducida por [[Euler]] en 1734) *Sea <math>x \in A\;</math>, al elemento de B que se corresponda con <math>x\;</math> lo representaremos por <math>f(x)\;</math> y se leerá "''imagen de x según f'' ". (Notación introducida por [[Euler]] en 1734)
*También se suele expresar como par ordenado <math>(x,y)\;</math>, con <math>y=f(x)\;</math>, a las parejas de elementos que estén en correspondencia mediante <math>f\;</math>. *También se suele expresar como par ordenado <math>(x,y)\;</math>, con <math>y=f(x)\;</math>, a las parejas de elementos que estén en correspondencia mediante <math>f\;</math>.
-*Al subconjunto de A formado por los elementos que tienen correspondencia con alguno de B, lo llamaremos '''conjunto origen''' o '''dominio''', <math>Or(f)\;</math>, de la correspondencia <math>f\;</math>.+*Al subconjunto de A formado por los elementos que tienen correspondencia con alguno de B, lo llamaremos '''conjunto origen''' o '''dominio''', <math>Or(f)\;</math> o <math>Dom(f)\;</math>, de la correspondencia <math>f\;</math>.
*Al subconjunto de B formado por los elementos que se corresponden con alguno de A, lo llamaremos '''conjunto imagen''' o '''rango''', <math>Im(f)\;</math>, de la correspondencia <math>f\;</math>. *Al subconjunto de B formado por los elementos que se corresponden con alguno de A, lo llamaremos '''conjunto imagen''' o '''rango''', <math>Im(f)\;</math>, de la correspondencia <math>f\;</math>.
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* Una correspondencia es '''unívoca''' si cada elemento inicial que tenga imagen solo tienen una imagen. * Una correspondencia es '''unívoca''' si cada elemento inicial que tenga imagen solo tienen una imagen.
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* Una '''aplicación''' o '''función''' es una correspondencia unívoca cuyo conjunto origen coincide con el conjunto inicial. * Una '''aplicación''' o '''función''' es una correspondencia unívoca cuyo conjunto origen coincide con el conjunto inicial.
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Tabla de contenidos

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Correspondencia entre conjuntos

Una correspondencia ente dos conjuntos A y B es una ley o criterio que asocia elementos de A con elementos de B.

  • Si llamamos f\; a la correspondencia entre A y B, ésta podemos expresarla simbólicamente:

f: A \rightarrow B

  • Al conjunto A se le denomina conjunto inicial y al B conjunto final de la correspondencia.
  • Sea x \in A\;, al elemento de B que se corresponda con x\; lo representaremos por f(x)\; y se leerá "imagen de x según f ". (Notación introducida por Euler en 1734)
  • También se suele expresar como par ordenado (x,y)\;, con y=f(x)\;, a las parejas de elementos que estén en correspondencia mediante f\;.
  • Al subconjunto de A formado por los elementos que tienen correspondencia con alguno de B, lo llamaremos conjunto origen o dominio, Or(f)\; o Dom(f)\;, de la correspondencia f\;.
  • Al subconjunto de B formado por los elementos que se corresponden con alguno de A, lo llamaremos conjunto imagen o rango, Im(f)\;, de la correspondencia f\;.
Correspondencia representada mediante un diagrama de Venn
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Correspondencia representada mediante un diagrama de Venn

ejercicio
Ejemplo:

Sean los conjuntos X={1, 2, 3, 4} y Y={a, b, c, d}, una correspondencia, f\;, entre X e Y podría ser aquella que asocia los elementos de X con los de Y siguiendo el siguiente diagrama de Venn:

  • Fíjate que en el conjunto inicial, X, puede haber elementos, \{1\}\;, que no tengan asignado ningún elemento del conjunto final, Y.
  • Igualmente, puede haber elementos de Y, \{a\}\;, a los que no se les ha asignado ningún elemento de X.
  • En el conjunto inicial, X, puede haber elementos, \{2\}\;, a los que les correspondan más de un elemento de Y: f(2)=b; f(2)=d
  • Igualmente, puede haber elementos de Y, \{d\}\;, a los que les corresponde más de un elmento de X: f(2)=d; f(4)=d
  • Or(f)=\{2, 3, 4\}\, ;\quad Im(f)=\{b, c, d\}\;

Correspondencia entre conjuntos (15'36")     Sinopsis:
  • Definición de correspondencia entre conjuntos.
  • Conjunto inicial y conjunto final. Ejemplos.
Relaciones (6'59")     Sinopsis:

El concepto de relación es sinónimo al de correspondencia.

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Tipos de correspondencias. Aplicaciones

  • Una correspondencia es unívoca si cada elemento inicial que tenga imagen solo tienen una imagen.
  • Una correspondencia es biunívoca si cada elemento inicial que tenga imagen solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene ese origen.
  • Una aplicación o función es una correspondencia unívoca cuyo conjunto origen coincide con el conjunto inicial.
Correspondencia unívoca pero no biunívoca
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Correspondencia unívoca pero no biunívoca
Correspondencia biunívoca
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Correspondencia biunívoca
Aplicación o función
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Aplicación o función

video
Aplicación o función
Función o aplicación entre conjuntos (6´25")     Sinopsis:

Concepto de función o aplicación ente dos conjuntos.

Función (16'51")     Sinopsis:

Concepto de función. Ejemplos.

Dominio y rango de una función (9'25")     Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Evaluación de una función (14'36")     Sinopsis:

Cómo se evalua una función. Ejemplos.

Representación gráfica de una función (12'01")     Sinopsis:

Cómo se representa gráficamente una función. Ejemplos.

[editar]

Tipos de aplicaciones

  • Una aplicación es inyectiva si cada imagen se corresponde con un único origen.
  • Una aplicación es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto final.
  • Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultaneamente.
Aplicacion inyectiva pero no sobreyectiva
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Aplicacion inyectiva pero no sobreyectiva
Aplicación sobreyectiva pero no inyectiva
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Aplicación sobreyectiva pero no inyectiva
Aplicación biyectiva
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Aplicación biyectiva
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Ejercicios

video
Problemas: Funciones
Problema 1 (7'21")     Sinopsis:

Problema sobre funciones.

Problema 2 (6'50")     Sinopsis:

Problema sobre funciones.

Problema 3 (4'56")     Sinopsis:

Problema sobre funciones.

Problema 4 (5'34")     Sinopsis:

Problema sobre funciones.

Problema 5 (9'43")     Sinopsis:

Problema sobre funciones.

Problema 6 (6'37")     Sinopsis:

Problema sobre funciones.

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