Plantilla:Raíces: definición y propiedades

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-*Raíces de números positivo, negativos y del cero.+
-*Raíz exacta y raíz entera.+
-*Calculo manual de raíces cuadradas.+
-*Los radicales.+
-*Extracción de factores de un radical.+
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Revisión actual

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Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a \; es otro número b \; tal que b^n =a\;\! y que escribimos simbólicamente b=\sqrt[n]{a}.

\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a

El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! la raíz.

nota
Nomenclatura:

Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....

ejercicio
Ejemplo

\sqrt[5]{32}=2\;     porque      2^5 =32\;.

Es una raíz quinta porque el índice es 5, su radicando es 32 y la raíz es 2.

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Propiedades de las raíces

ejercicio

Propiedades

  • \sqrt[n]{1}=1  ;  \sqrt[n]{0}=0 , para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
  • Si el índice n\;\! es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

ejercicio
Ejemplos
  • \sqrt[3]{1}=1.
  • \sqrt[5]{0}=0.
  • \sqrt[4]{16}=\pm 2 porque (\pm 2)^4=16\;\!.
  • \sqrt[3]{64}=4 porque 4^3=64\;\!.
  • \sqrt[3]{-8}=-2 porque (-2)^3=-8\;\!.
  • \sqrt[4]{-8}= no \ existe porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

video
La raíz n-ésima
Tutorial 1 (9´53")     Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).

Tutorial 2a (6´38")     Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 2b (6´38")     Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.

Tutorial 3 (4´54")     Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 4 (32´48")     Sinopsis:
  • Raíces de un número entero.
  • Raíces cuadradas y cúbicas.
  • Partes de una raíz.
  • Raíces de números positivo, negativos y del cero.
  • Raíz exacta y raíz entera.
  • Calculo manual de raíces cuadradas.
  • Los radicales.
  • Extracción de factores de un radical.
Ejercicio 1a (30´30")     Sinopsis:

1) Completa:

1a) Como \ \ 6^2=36 \ \ y \ \ (-6)^2 =36 \rightarrow \sqrt{36}= ...
1b) Como \ \ 7^2=49 \ \ y \ \ (-7)^2 =49 \rightarrow \sqrt{49}= ...
1c) Como \ \ 9^2=81 \ \ y \ \ (-9)^2 =81 \rightarrow \sqrt{81}= ...
1d) Como \ \ 3^2=9 \ \ y \ \ (-3)^2 =9 \rightarrow \sqrt{9}= ...

2) Completa:

2a) Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...
2b) Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...
2c) Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...
2d) Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...
2e) Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...
2f) Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...

3) Completa:

3a) Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...
3b) Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...
3c) Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...
3d) Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...
3e) Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...
3f) Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...
3g) Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...

4) Contesta:

4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe \sqrt{-25}\;?
4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe \sqrt{-36}\;?
4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?
4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe \sqrt[3]{-27}\;?
4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe \sqrt[3]{-64}\;?
4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?
4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe \sqrt[4]{-81}\;?
4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe \sqrt[5]{-243}\;?
4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?

5) Calcula:

5a) \sqrt{1}\; ;     \sqrt{-1}\;
5b) \sqrt{4}\; ;     \sqrt{-4}\;
5c) \sqrt{9}\; ;     \sqrt{-9}\;
5d) \sqrt{16}\; ;     \sqrt{-16}\;
5e) \sqrt{25}\; ;     \sqrt{-25}\;
5f) \sqrt{36}\; ;     \sqrt{-36}\;
5g) \sqrt{49}\; ;     \sqrt{-49}\;
5h) \sqrt{64}\; ;     \sqrt{-64}\;
5i) \sqrt{81}\; ;     \sqrt{-81}\;
5j) \sqrt{100}\; ;     \sqrt{-10}\;

6) Calcula:

6a) \sqrt[3]{1}\; ;     \sqrt[3]{-1}\;
6b) \sqrt[3]{8}\; ;     \sqrt[3]{-8}\;
6c) \sqrt[3]{27}\; ;     \sqrt[3]{-27}\;
6d) \sqrt[3]{64}\; ;     \sqrt[3]{-64}\;
6e) \sqrt[3]{125}\; ;     \sqrt[3]{-125}\;

6) Calcula:

7a) \sqrt[4]{1}\; ;     \sqrt[4]{-1}\;
7b) \sqrt[5]{32}\; ;     \sqrt[5]{-32}\;
7c) \sqrt[6]{729}\; ;     \sqrt[6]{-729}\;
7d) \sqrt[7]{128}\; ;     \sqrt[7]{-128}\;
Ejercicio 1b (28´06")     Sinopsis:

8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:

8a) \sqrt{25}\;
8b) \sqrt[3]{-64}\;
8c) \sqrt[4]{81}\;

9) Completa:

9a) \sqrt{4}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9b) \sqrt{9}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9c) \sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9d) \sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9e) \sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9f) \sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9g) \sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9f) \sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;

10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:

10a) \sqrt{14}\; ;      \sqrt[3]{14}\;
10b) \sqrt{20}\; ;      \sqrt[3]{20}\;
10c) \sqrt{39}\; ;      \sqrt[3]{39}\;

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11a) \sqrt{4069}\;
11b) \sqrt{8315}\;
Ejercicio 1c (31´57")     Sinopsis:

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11c) \sqrt{49625}\;
11d) \sqrt{987654}\;
11e) \sqrt{448056}\;
11f) \sqrt{865432}\;

La raíz n-ésima     Descripción:

Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ra%C3%ADces:_definici%C3%B3n_y_propiedades"
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