Plantilla:Función inversa (1ºBach)

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Función inversa o recíproca

Si f\; es una función que lleva elementos de X\; en elementos de Y\;, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f^{-1}\; que realice el camino de vuelta de Y\; a X\;. En ese caso diremos que f^{-1}\; es la función inversa o recíproca de f\;. Formalmente:

Sea f\; una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto X\; y cuya imagen sea el conjunto Y\; (en tal caso f:X \rightarrow Y es biyectiva). Entonces, la función recíproca o inversa de f\;, denotada f^{-1}\;, es la función de dominio Y\; e imagen X\; definida por la siguiente regla:

f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow{}f(x) = y \,\!

Comprendiendo las funciones inversas (6'11")     Sinopsis:

Introducción a las funciones inversas.

ejercicio

Propiedades

Sea f \colon X \rightarrow Y una función y f^{-1}\; su inversa:

  • Las gráficas de f\; y f^{-1}\; son simétricas respecto de la recta y=x\;.
  • La función f^{-1}\;, al igual que f\;, es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por f\; y que cumple:
a) f^{-1} \circ f = I_X
b) f \circ f^{-1}=I_Y

donde I_X\; e I_Y\; son las funciones identidad en X\; e Y\; respectivamente.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
Aumentar
Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

ejercicio

Procedimiento

Para intentar hallar la expresión analítica de la inversa de y=f(x):

  1. Se despeja (si se puede) la variable "x" para ponerla en función de la variable "y".
  2. Se intercambian las dos incógnitas (donde aparece "x" se pone "y" y viceversa).
  3. La expresión resultante es la de la función inversa de f.

video
Obtención de la expresión analítica de la función inversa
Ejemplo 1 (11'55")     Sinopsis:

1 ejemplo sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.

Ejemplos 2 (6'53")     Sinopsis:

2 ejemplos sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.

Ejemplos 3 (13'30")     Sinopsis:

Algunos ejemplos sobre el cálculo de la función inversa y sobre la composición de funciones.

Ejemplo 4 (8'22")     Sinopsis:

Obtención de la función inversa de f(x)=\cfrac{2x+3}{5-x}\; previa demostración de su inyectividad.

Ejemplo 5 (14'07")     Sinopsis:

1 ejemplo sobre el cálculo de la función inversa de una función trigonométrica.

ejercicio

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^2\;:

Solución:

Como la función f(x)=x^2\; no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:

f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}


En la siguiente escena puedes ver f(x)=x^2\; (en verde), f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} (en amarillo), y f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} (en turquesa):


Click aquí si no se ve bien la escena

Función inversa o recíproca     Descripción:

En esta escena podrás introducir la expresión analítica de una función y obtener la expresión analítica de su inversa, así como ver sus respectivas representaciones gráficas. También se te propondrán algunas actividades.

Obtención del rango o recorrido de una función. (9'33")     Sinopsis:

Ejemplo sobre el cálculo del rango o recorrido de una función mediante el cálculo del dominio de su función inversa.

Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco

video
Las funciones arco
Tutorial (24'51")     Sinopsis:

Definición, representación y análisis de las funciones arco. Ejercicios.

Ejercicio 1 (19'07")     Sinopsis:

Ejercicios resueltos sobre funciones arco.

Ejercicio 2 (7'45")     Sinopsis:

¿A qué intervalo de los dados a continuación se puede restringir la función f(x)=cos\,(x-\cfrac{\pi}{4}) para que sea invertible?

a) (-\cfrac{5\pi}{4},-\cfrac{\pi}{4})
b) [-\pi,\pi]\,
c) [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]
d) (\cfrac{\pi}{2},\cfrac{5\pi}{4})
Problema (10'32")     Sinopsis:

Problema resuelto sobre funciones arco.

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