Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Funciones algebraicas y trascendentes
2 Funciones lineales
3 Funciones cuadráticas
4 Funciones irracionales
5 Funciones de proporcionalidad inversa
6 Funciones exponenciales
7 Funciones logarítmicas
8 Funciones trigonométricas
9 Ejercicios propuestos

(Pág. 250)

Funciones algebraicas y trascendentes

Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Funciones algebraicas y trascendentes (8'51") Sinopsis:

La función "f" se dice "algebraica" si las operaciones que deben realizarse para determinar el número real "f(x)" son las llamadas algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de ínidice constante. Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente".

Ejemplos de funciones elementales Descripción:

En esta escena podrás ver la representación de algunas funciones elementales.

Funciones lineales

Sean $m, \, n \in \mathbb{R}$ . Se define la función lineal como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \qquad \qquad x \rightarrow y=mx+n \end{matrix}$

El número real $m\;$ recibe el nombre de pendiente.
El número real $n\;$ recibe el nombre de ordenada en el origen.

Si $n=0\;$ se llama función de proporcionalidad directa.
Si $n \ne 0\;$ se llama función afín.

La función lineal Descripción:

Representación de la familia de funciones lineales.

Utilidad de la función lineal

Utilidad de las funciones lineales

Función lineal

Propiedades de la función lineal

Las funciones lineales $y=mx+n\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Su gráfica es una recta que cortan al eje Y en $(0,n)\;$ .
Si $m>0\;$ son crecientes, si $m<0\;$ son decrecientes y si $m=0\;$ son constantes.

Funciones cuadráticas

Sean $a, \, b, \, c \in \mathbb{R} \ (a \ne 0)$ . Se define la función cuadrática como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \qquad \qquad \qquad x \rightarrow y=ax^2+bx+c \end{matrix}$

La función cuadrática Descripción:

Representación de la familia de funciones cuadráticas.

Utilidad de la función cuadrática

Utilidad de las funciones cuadráticas

Propiedades de la función cuadrática

Las funciones lineales $y=ax^2+bx+c\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Su gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba si $a>0\;$ y hacia bajo si $a<0\;$ .
Su gráfica es simétrica respecto de un eje de ecuación $x=-\cfrac{b}{2a}$ que pasa por el vértice de la parábola.

Distintos ejemplos de funciones cuadráticas. Observa como afecta el valor de a en la amplitud de la parábola y en la dirección de las ramas

Funciones irracionales

Sea $n \in \mathbb{N} \ (n>1)\;$ . Se define la función raíz de índice n como:

$y=\sqrt[n]{x}$

La función irracional Descripción:

Representación de la familia de funciones irracionales.

Utilidad de la función irracional

Utilidad de las funciones irracionales

Propiedades de la función irracional

Las funciones del tipo $y=\sqrt[n]{x}$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ si $n\;$ es impar y $D_f=\mathbb{R}^+$ si $n\;$ es par.
Su inversa es la función $y=x^n\;$
Cortan al eje X en x=0 y siempre son positivas.

Funciones irracionales y sus recíprocas, las potencias.

Funciones de proporcionalidad inversa

Sea $k \in \mathbb{R}\, , (k \ne 0)$ . Las función de proporcionalidad inversa se define como

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R_*} \rightarrow \mathbb{R} \\ \, \qquad \quad \ \ x \rightarrow y=\cfrac{k}{x} \end{matrix}$

El numero $k\;$ recibe el nombre de constante de proporcionalidad inversa.

Este tipo de funciones se llaman así porque si $x\;$ e $y\;$ son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad $k\;$ , entonces sabemos que se cumple que $x \cdot y = k \;$ .

La función de proporcionalidad inversa Descripción:

Representación de la familia de funciones de proporcionalidad inversa.

Utilidad de la función de proporcionalidad inversa

Utilidad de la función de proporcionalidad inversa

Propiedades de la función de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa $y=\cfrac{k}{x}\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son funciones continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R_*}=\mathbb{R}-\{0\}$ .
Son crecientes si $k<0\;$ y decrecientes si $k>0\;$ .
No tienen puntos de corte con los ejes.
La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera:

Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Sus asíntotas son los propios ejes de coordenadas.

Funciones de proporcionalidad inversa

Una función homográfica es una función racional del tipo:

$\ y = \cfrac{ax+b}{cx+d}$

Proposición

Si transformamos una función de proporcionalidad inversa por medio de traslaciones horizontales y verticales, el resultado es una función homográfica.

Demostración:

Si partimos de una función de proporcionalidad inversa:

$\ y = \cfrac{k}{x}$

y sobre ella efectuamos traslaciones verticales y horizontales, nos quedaría:

$\ y = \cfrac{k}{x+m}+n$

Desarrollando esta expresión:

$\ y = \cfrac{k+nx+nm}{x+m}=\cfrac{nx+(nm+k)}{x+m}$

que es de tipo homográfico.

La función homográfica Descripción:

Representación de la familia de funciones homográficas.

Funciones exponenciales

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Funciones exponenciales

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.

Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales

La función exponencial

Tutorial 1a (13'27") Sinopsis:

La función exponencial:

Definición.
Clasificación.
Análisis y representación gráfica de la función exponencial de base 2.

Tutorial 1b (14'20") Sinopsis:

La función exponencial:

Definición.
Clasificación.
Análisis y representación gráfica de la función exponencial de base 1/2.

Tutorial 2 (8'32") Sinopsis:

Valor inicial y razón común de una función exponencial.

Ejercicio 1 (6'18") Sinopsis:

Representa la función exponencial de base 3.

Ejercicio 2 (7'42") Sinopsis:

Representa la función exponencial de base 5.

Ejercicio 3 (4'45") Sinopsis:

Dadas tres gráficas de funciones exponenciales, elige la que se corresponde con una ecuación dada.

Ejercicio 4 (5'52") Sinopsis:

Problemas sobre modelos exponenciales vs. modelos lineales.

Ejercicio 5 (4'04") Sinopsis:

Representa gráficamente:

a) $h(x)=\cfrac{1}{2} \cdot \left(\cfrac{1}{5}\right)^x$

b) $h(x)=-12 \cdot 4^x$

Ejercicio 6 (2'46") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función exponencial con valor inicial -2 y razón 1/7.

Ejercicio 7 (8'46") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función lineal y otra exponencial a partir de la tabla de valores dada en el video.

Ejercicio 8 (11'08") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función lineal y otra exponencial a partir de la gráfica dada en el video.

Ejercicio 9 (10'50") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función exponencial a partir de la tabla dada en el video.

Ejercicio 10 (6'28") Sinopsis:

Escribe la expresión analítica de una función exponencial a partir de la gráfica dada en el video.

Ejercicio 11 (8'38") Sinopsis:

Averigua para qué valor de $x\;$ se cumple que $f(x)=-\cfrac{1}{25}$ .

Problema 1 (7'23") Sinopsis:

Una sustancia radioactiva se desintegra a una tasa del 3.5% por hora. ¿Qué porcentaje de sustancia queda después de 6 horas?

Problema 2 (8'00") Sinopsis:

Averigua la expresión analítica de una función exponencial a partir de un enunciado y una tabla.

La función exponencial

Actividad Descripción:

Representación de la familia de funciones exponenciales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Modelos exponenciales vs. modelos lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Crecimiento exponencial vs. crecimiento lineal en el tiempo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Representación gráfica de funciones exponenciales.

Autoevaluación 4 Descripción:

Funciones exponenciales a partir de tablas y gráficas.

Utilidad de la función exponencial

Funciones logarítmicas

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .