Plantilla:Def progresion geometrica
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| - | Una '''progresión geométrica''' es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, <math>r\;\!</math>, que llamaremos '''razón''' | + | Una '''progresión geométrica''' es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>r\;\!</math>}}, que llamaremos '''razón'''. |
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| - | Por ejemplo: | + | |
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| - | es una progresión geométrica de razón r=2. | + | Escrito en forma recursiva: |
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| - | |titulo=''Término general de una progresión geométrica'' | + | |
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| - | :Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión geométrica de razón <math>r\;\!</math>. | + | |
| - | :Entonces se cumple que: | + | <center><math>a_n=a_{n-1} \cdot r \ , \ \forall n>1</math></center> |
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| - | |demo= | + | Por ejemplo, la sucesión <math>u_n\;</math>: |
| - | En efecto, de forma intuitiva: | + | |
| - | <center><math>a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!</math> | + | <center>[[Imagen:prog_geometrica.png]]</center> |
| - | <math>a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!</math> | + | es una progresión geométrica de razón {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>r = 2\;</math>}}. |
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| - | <math>a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!</math> | + | |
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| - | <math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math></center> | + | |
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| - | '''Demostración por el método de inducción completa:''' | + | |
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| - | Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural. | + | |
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| - | Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula: | + | |
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| - | <center><math>a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1</math></center> | + | |
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| - | con lo que queda comprobada para n=1. | + | |
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| - | Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n: | + | |
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| - | <center><math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>.{{b4}}[1]</center> | + | |
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| - | Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término: | + | |
| - | + | ||
| - | <center><math>a_{n+1}=a_n \cdot r \;</math>{{b4}}[2]</center> | + | |
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| - | Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1: | + | |
| - | + | ||
| - | <center><math>a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}</math></center> | + | |
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| - | Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción. | + | {{Videotutoriales|titulo=Progresiones geométricas|enunciado= |
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| + | |sinopsis=Progresiones geométricas: definición y ejemplos. | ||
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| + | |sinopsis=Halla el quinto término de la siguiente progresión geométrica: <math>\{ -\cfrac{3}{8}, -\cfrac{3}{2}, -6, -24, ...\}</math> | ||
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| + | {{Video_enlace_khan | ||
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| + | |duracion=4´31" | ||
| + | |url1=https://youtu.be/IE1vDZExwc4 | ||
| + | |sinopsis=Halla el término <math>a_4\;</math> de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia: | ||
| + | :<math>\begin{cases}a_1=-\cfrac{1}{8} \\ a_n=2 \cdot a_{n-1} \ , \ \forall n>1 \end{cases}</math> | ||
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| + | {{Actividades|titulo=Progresiones geométricas|enunciado= | ||
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| + | |titulo1=Actividad 1 | ||
| + | |descripcion=Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión geométrica y a cómo identificarlas. | ||
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| + | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometric-sequences/e/extend-geometric-sequences-negatives-fractions | ||
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| + | {{AI_Khan | ||
| + | |titulo1=Autoevaluación 2 | ||
| + | |descripcion=Fórmulas recursivas para sucesiones geométricas. | ||
| + | |url1=http://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/constructing-geometric-sequences/e/recursive-formulas-for-geometric-sequences | ||
| + | }} | ||
| }} | }} | ||
| - | |||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | {{Video_enlace | ||
| - | |titulo1=Progresiones geométricas | ||
| - | |duracion=11'41" | ||
| - | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/05-sucesion-geometrica#.VCamUvl_u2E | ||
| - | |sinopsis=*Definición de progresión geométrica. | ||
| - | *Ejemplos. | ||
| - | *Término general de una progresión geométrica. | ||
| - | }} | ||
Revisión actual
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, 
, que llamaremos razón.
Escrito en forma recursiva:
Por ejemplo, la sucesión 
:
es una progresión geométrica de razón 
.
Tutorial (5´08") Sinopsis:Progresiones geométricas: definición y ejemplos.
Ejercicio 1 (3´03") Sinopsis: Halla el quinto término de la siguiente progresión geométrica: 
Ejercicio 2 (4´31") Sinopsis: Halla el término 
de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:
Actividad 1 Descripción: Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión geométrica y a cómo identificarlas.
Autoevaluación 1a Descripción: Extiende sucesiones geométricas.
Autoevaluación 1b Descripción: Extiende sucesiones geométricas con términos negativos y racionales.
Autoevaluación 2 Descripción: Fórmulas recursivas para sucesiones geométricas.
