Funciones exponenciales (1ºBach)

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El capital obtenido de la inversión de un capital inicial <math>C_0\;</math> a un interés compuesto <math>r\;</math> en <math>n\;</math> periodos anuales sigue la fórmula: El capital obtenido de la inversión de un capital inicial <math>C_0\;</math> a un interés compuesto <math>r\;</math> en <math>n\;</math> periodos anuales sigue la fórmula:
-<center>C = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^nt</center>+<center><math>C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}</math></center>
siendo <math>t\;</math> el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión. siendo <math>t\;</math> el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.
Línea 111: Línea 111:
*'''Desintegración radiactiva''' *'''Desintegración radiactiva'''
-Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si '''R_0\;''' es la cantidad inicial de sustancia y <math>k\;</math> la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo <math>t\;</math> será:+Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si <math>R_0\;</math> es la cantidad inicial de sustancia y <math>k\;</math> la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo <math>t\;</math> será:
<center><math>R_t = R_0 \cdot e^{-kt}</math></center> <center><math>R_t = R_0 \cdot e^{-kt}</math></center>

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Tabla de contenidos

Función exponencial de base a

Sea a>0 \ , (a \ne 1) un número real. Se define la función exponencial de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\ \, \quad x & \rightarrow & a^x \end{matrix}

La función exponencial de base e = 2,7182...\; (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

ejercicio

Actividad Interactiva: Función exponencial

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones exponenciales.
Actividad:
En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) y = 2^x\; (en verde);    b) y = 3^x\; (en amarillo);    c) y = \left ( \frac{1}{2} \right )^x (en rojo);    d) y = \left ( \frac{1}{3} \right )^x (en turquesa)

Click aquí si no se ve bien la escena

Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:

  • Todas pasan por los punto (0,1)\; y (a,0)\;, donde a\; es la base.
  • Si la base a>1\;, son crecientes y si 0<a<1\; decrecientes.
  • Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
  • Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
  • Las gráficas a) y c) son simétricas respecto del eje Y. Lo mismo ocurre con b) y d).

Prueba a cambiar también las funciones por otras. No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.

Propiedades

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en \mathbb{R}.
  • Pasan por (0,1)\; y (1,a)\;.
  • Si a>1\; son crecientes y si 0<a<1\; son decrecientes. Su crecicmiento supera al de cualquier función potencia.
  • Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

El crecimiento exponencial

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M\; que crece con el tiempo t\; de acuerdo con la ecuación:

M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,

Donde:

  • M_t\; es valor de la magnitud en el instante t\; > 0;
  • M_0\; es el valor inicial de la variable, valor en t = 0\;, cuando empezamos a medirla;
  • r\; es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0\; y t > 0\;;
  • e = 2,7182...\; (número e)

Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base a\; haciendo r=ln(a)\;.

M_t=M_0 \cdot a^t\;
Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)
Aumentar
Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

Ejemplos:
  • El ajedrez y los granos de trigo

Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:

2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;

una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.

Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 2^x\;, para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.

  • El interés continuo

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial C_0\; a un interés compuesto r\; en n\; periodos anuales sigue la fórmula:

C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}

siendo t\; el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.


Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;
  • Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R_0\; es la cantidad inicial de sustancia y k\; la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t\; será:

R_t = R_0 \cdot e^{-kt}
  • Crecimiento demográfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo P_0\; la población inicial e i\; el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:

P = P0 \cdot e^{it}

Calculadora

Exponencial de base 10

Calculadora

Calculadora: Exponencial de base 10

Para calcular 10^x\; usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Ejemplo:
  • Operación: 10^4\;


  • Procedimiento: Shift Logaritmo decimal 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 10000\;\!

Exponencial de base e

Calculadora

Calculadora: Exponencial de base e

Para calcular e^x\; usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

Ejemplo:
  • Operación: e^2\;\!


  • Procedimiento: Shift Logaritmo neperioano 2\;\! Obtener resultado


  • Solución: 7,38905 \;\!

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones_exponenciales_%281%C2%BABach%29"
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