Función inversa o recíproca (1ºBach)

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*Las gráficas de <math>f\;</math> y <math>f^{-1}\;</math> son simétricas respecto de la recta <math>y=x\;</math>. *Las gráficas de <math>f\;</math> y <math>f^{-1}\;</math> son simétricas respecto de la recta <math>y=x\;</math>.
*La función <math>f^{-1}\;</math>, al igual que <math>f\;</math>, es una función [[Función biyectiva|biyectiva]], que queda determinada de modo único por <math>f\;</math> y que cumple: *La función <math>f^{-1}\;</math>, al igual que <math>f\;</math>, es una función [[Función biyectiva|biyectiva]], que queda determinada de modo único por <math>f\;</math> y que cumple:
-::a) <math>f^{-1} \circ f = I_X</math>+:a) <math>f^{-1} \circ f = I_X</math>
-::b) <math>f \circ f^{-1}=I_Y</math>+:b) <math>f \circ f^{-1}=I_Y</math>
-:donde <math>I_X\;</math> e <math>I_Y\;</math> son las [[Función identidad|funciones identidad]] en <math>X\;</math> e <math>Y\;</math> respectivamente.+donde <math>I_X\;</math> e <math>I_Y\;</math> son las [[Función identidad|funciones identidad]] en <math>X\;</math> e <math>Y\;</math> respectivamente.
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Función inversa o recíproca

Si f\; es una función que lleva elementos de X\; en elementos de Y\;, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f^{-1}\; que realice el camino de vuelta de Y\; a X\;. En ese caso diremos que f^{-1}\; es la función inversa o recíproca de f\;. Formalmente:

Sea f\; una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto X\; y cuya imagen sea el conjunto Y\;. Entonces, la función recíproca o inversa de f\;, denotada f^{-1}\;, es la función de dominio Y\; e imagen X\; definida por la siguiente regla:

f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x \,\!

ejercicio

Propiedades

Sea f \colon X \rightarrow Y una función y f^{-1}\; su inversa:

  • Las gráficas de f\; y f^{-1}\; son simétricas respecto de la recta y=x\;.
  • La función f^{-1}\;, al igual que f\;, es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por f\; y que cumple:
a) f^{-1} \circ f = I_X
b) f \circ f^{-1}=I_Y

donde I_X\; e I_Y\; son las funciones identidad en X\; e Y\; respectivamente.

Demostración:

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
Aumentar
Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

ejercicio

Actividad Interactiva: Función inversa

Actividad 1. Representación gráfica de una función f(x)\; y de su inversa f^{-1}(x)\;.
Actividad:
En esta escena tienes la gráfica de la función f(x) = x^3\; (en verde) y la de f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} (en amarillo). Observa que son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, la recta y=x\; (en rojo).

Click aquí si no se ve bien la escena

Prueba a cambiar también la función f(x)=x^3\; por otras funciones, por ejemplo, f(x)=x^2\;. ¿Quien sería su función inversa?. ¿Que ocurre?. Recuerda que para que una función tenga inversa debe ser inyectiva.

No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.

ejercicio

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^2\;:

Solución:

Como la función f(x)=x^2\; no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y alos que si podamos calcular su inversa:

f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}


En la siguiente escena puedes ver f(x)=x^2\; (en verde), f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} (en amarillo), y f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} (en turquesa):


Click aquí si no se ve bien la escena

Videos sobre funciones inversas

Función inversa o recíproca ()     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

ejercicio

Video-Ejemplos: Función inversa o recíproca

Ejemplos 1    Ejemplos 2    Ejemplos 3     Ejemplos 4    Ejemplos 5

Ojo con la notación de las funciones inversas ()     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

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