Plantilla:Dominio e imagen de una función

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Revisión de 19:10 1 feb 2009

Dominio e imagen de una función

Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente $x\;$ , se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por $D_f\;$ ó $Dom_f\;$
La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente $y\;$ . Lo representaremos por $Im_f\;$ o $R_f\;$ .

Dominio de definición de una función (8'51") Sinopsis:

Dominio de definición de una función.
Interpretación gráfica del dominio.
Necesidad de saber el dominio de una función.
Ejemplos.

Actividad Interactiva: Dominio e imagen

1. Determina el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

Actividad:

a) Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X,¿Cuál es su dominio y su imagen?

b) Observa esta otra escena y procedede como antes:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

c) Haz lo mismo con esta tercera escena:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Razones para restringir el dominio de una función

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos,...)
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)
Por voluntad de quien propone la función.

Reglas "Sagradas" del Cálculo (3'43") Sinopsis:

Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Aquí las vamos a recordar.

De las funciones y de las serpientes (9'01") Sinopsis:

Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.

Ejemplos de "serpientes" peligrosas... o no (14'53") Sinopsis:

Ejemplos de algunas funciones "peligrosas" y de otras que no presentan ningún problema.

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.

c) Su dominio es $\mathbb{R^+}$ , porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.

d) Su dominio es $(0, + \infty)$ , porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos