Plantilla:Ecuaciones exponenciales

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|enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciónes: |enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciónes:
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-'''a)''' <math> 2^{1-x^2}=\cfrac{1}{8}</math>+'''a)'''
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-Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:+:Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:
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-Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales:+:Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales:
-:<math>1-x^2=-3\;</math>+<center><math>1-x^2=-3\;</math></center>
-Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:+:Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
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-'''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 \, \ x_2=-2</math>+:'''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 \, \ x_2=-2</math>
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-'''b)''' <math>2^x+2^{x+1}=12\;</math>+'''b)'''
 +<center><math>5^{x^2-5x+6}=1 \;</math></center>
-Hacemos el siguiente cambio de variable:+:Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:
-:<math>2^x=y\;</math>+<center><math>5^{x^2-5x+6}=5^0 \;</math></center>
-Así nuestra ecuación queda:+:Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales:
-:<math>2^x+2^{x+1}=12 \ \rightarrow \ 2^x+2 \cdot 2^x=12 \ \rightarrow \ y+2y=12 \ \rightarrow \ y=4</math>+<center><math>x^2-5x+6=0 \;</math></center>
-Ahora hay que deshacer el cambio de variable:+:Resolvemos la ecuación de segundo grado:
-:<math>2^x=y \ \rightarrow \ 2^x=4 \ \rightarrow \ 2^x=2^2 \ \rightarrow \ x=2</math>+<center><math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}</math></center>
-'''''Solución:''''' <math>x=2\;</math>+'''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 , \ x_2=3;</math>
 +----
 +'''c)'''
 +<center><math> 3^{1-x^2}=2\;</math></center>
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 +:Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:
 +{{p}}
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 +:Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
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 +<center><math>(1-x^2) log \ 3= log \ 2 \rightarrow 1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3}</math></center>
 + 
 +:Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
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 +:'''''Soluciones:''''' <math>x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075</math>
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Revisión de 08:47 30 ago 2016

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuación exponencial

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;
Solución:

a)

3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:
3^{1-x^2}=3^{-3}
Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:
1-x^2=-3\;
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2

 

Soluciones: x_1=2 \, \ x_2=-2

b)

5^{x^2-5x+6}=1 \;
Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:
5^{x^2-5x+6}=5^0 \;
Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:
x^2-5x+6=0 \;
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}


Soluciones: x_1=2 , \ x_2=3;

c)

3^{1-x^2}=2\;

Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:

log \ 3^{1-x^2}= log \ 2
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
(1-x^2) log \ 3= log \ 2 \rightarrow 1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3}
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075

 

Soluciones: x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075

wolfram

Actividad: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)\ 3^x=\sqrt[3]{9} \quad b)\ 2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \quad c)\ 9^x-3^x-6=0

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 3^x=3root (9) over the reals      b) solve 2^(2x)-5*2^x+4=0 over the reals      c) solve 9^x-3^x-6=0 over the reals

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_exponenciales"
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