Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

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Binomio de Newton

ejercicio

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:


(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,


que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k


Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Coeficientes binomiales

Llamaremos coeficientes binomiales a los coeficientes {n \choose k}, de los términos del desarrollo del binomio de Newton.

ejercicio

Propiedad: Relación entre los coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales cumplen la siguiente relación:
{n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}
Triángulo de Pascal para n=3.

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales {n \choose k} ordenados en forma triangular.

\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;

Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella. (Por la propiedad anterior)

Triángulo de Pascal para n=10.
Aumentar
Triángulo de Pascal para n=10.

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

ejercicio

Propiedades

  1. Los coeficientes del desarrollo de (a+b)n se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
  2. El triángulo de Pascal es simétrico.
  3. La suma de todos los valores de la fila "n" es igual a 2n.
Demostración:
  1. Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
  2. Esto es así porque {n\choose {n-p}} = {n\choose p}.
  3. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)n = 2n es

{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n,
wolfram

Actividad: Binomio de Newton

Halla el desarrollo de (a+b)7:

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
expand (a+b)^7

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