Funciones lineales: Función de proporcionalidad directa

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Tabla de contenidos

1 Función de proporcionalidad directa
2 Pendiente de una recta
- 2.1 La pendiente y el crecimiento
- 2.2 Cálculo de la pendiente
3 Ejercicios

Función de proporcionalidad directa

Una función de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión analítica es:

$y=m \cdot x$

$x\;\!$ e $y\;\!$ son las variables.
$m\;\!$ una constante que se denomina constante de proporcionalidad o pendiente.

Función de proporcionalidad directa Descripción:

En esta escena podrás ver la gráfica de la función de proporcionalidad directa y sus propiedades.

Propiedad

La gráfica de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Si $m=1\,$ , la función que se obtiene, $y=x\,$ , recibe el nombre de función identidad y es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Pendiente de una recta

La pendiente y el crecimiento

Proposición

La pendiente $m\,$ de una recta mide la inclinación de la misma, de manera que:

Si $m>0\,$ , la función es creciente.
Si $m<0\,$ la función es decreciente.
Si $m=0\,$ la función es constante (recta horizontal).

Actividades Interactivas: La pendiente y el crecimiento

Significado de la pendiente en relación con el crecimiento de la función lineal.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto azul sobre la gráfica y observa sus coordenadas:

¿Qué relación hay entre ellas?

Desliza ahora el punto verde para modificar el valor del parámetro m y observa los cambios.

Describe lo que ocurre.
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas según el valor de m?
¿Cómo influye en la gráfica el signo de m?
¿Que tipo de recta obtienes cuando la pendiente es 0?

Cálculo de la pendiente

Cálculo de la pendiente

La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

$m=\cfrac {variaci \acute{o} n\ de\ y}{variaci \acute{o} n\ de\ x}$

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas $x\,$ e $y\,$ , respectivamente.

Actividades Interactivas: Cálculo de la pendiente

Averigua el valor de la pendiente de una recta.

Actividad:

Consideremos la función $y=mx\;\!$ , cuya pendiente es $m\,$ .

La pendiente de una recta tiene mucha relación con las coordenadas de los puntos por donde pasa.

En la siguiente escena tienes que seleccionar el número que corresponde a la pendiente de la recta azul fijándote en las coordenadas del punto rojo de la recta.

Para dar valores a $m\;\!$ puedes escribir números decimales o fracciones como 5/7 ó -1/2 y pulsar la tecla Intro. Si aciertas verás la expresión de la función con color azul, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo. Después de cada acierto pulsa el botón animar para que salga una nueva recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios

Ejercicio: Función lineal

1. Un grifo, con un caudal de 5 $d m 3$ por minuto, vierte agua en un estanque.

a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-capacidad.

b) Representa gráficamente la función.

c) Halla la expresión algebraica de la función.

Solución:

a) Tabla de valores:

tiempo (min)	0	1	2	3	4	5	6
capacidad $(d m 3)$	0	5	10	15	20	25	30

b) Representación gráfica:

C = 5 t

(

C

d m 3

;

t

en minutos)

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones_lineales:_Funci%C3%B3n_de_proporcionalidad_directa"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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 Si {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>m=1\,</math>}}, la función que se obtiene, <math>y=x\,</math>, recibe el nombre de '''función identidad''' y es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.}}
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-|enunciado=:La función identidad y otros ejemplos de funciones lineales de proporcionalidad directa.
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-|actividad={{p}}
-* '''La función identidad.'''
-La función <math>y=x\;\!</math> se denomina '''función identidad''', porque a cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas (1,1), (2,2), etc.
-En la siguiente escena, mueve el punto rojo y comprueba que todos los puntos de la recta cumplen la condición <math>y=x\;\!</math>.
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_lineal/Funcion_lineal_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Como ves la representación gráfica de la función identidad es una recta, que es la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero del sistema de referencia cartesiano. Todos los puntos de esa recta tienen sus coordenadas idénticas, para cada punto su abscisa es igual que su ordenada.
-* '''Otras funciones lineales.'''
-En la siguiente escena vamos a comparar las funciones <math>y=x\;\!</math> e <math>y=2x\;\!</math>.
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_lineal/Funcion_lineal_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-a) Observa como la función <math>y=2x\;\!</math> asigna a cada valor <math>x\;\!</math>, su doble. Compruébalo en la gráfica. ¿Qué tienen en común ambas funciones?
-Observa esta otra escena:
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_lineal/Funcion_lineal_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-b) Modifica el valor de m con los pulsadores o escribiendo el valor y pulsando "intro", para obtener las gráficas de las funciones <math>y=x\;\!</math>, <math>y=3x\;\!</math>, e <math>y=\cfrac{1}{2} \cdot x</math>
-c) Dibuja las anteriores funciones en tu cuaderno a partir de sus tablas de valores.
-d) ¿Qué tienen todas en común?
-}}
-}}
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