Plantilla:Ecuaciones exponenciales

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 18:58 14 ene 2009

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Ejemplo: Ecuación exponencial

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $2^{x^2-1}=\cfrac{1}{8}\;$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:

a) $2^{1-x^2}=\cfrac{1}{8}$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

$2^{1-x^2}=2^{-3}$

Como $a^x = a^y \iff x=y$ , los exponentes deben ser iguales:

$1-x^2=-3\;$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$1-x^2=-3 \ \rightarrow \ x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2$

Soluciones: $x_1=2 \, \ x_2=-2$

b) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Hacemos el siguiente cambio de variable:

$2^x=y\;$

Así nuestra ecuación queda:

$2^x+2^{x+1}=12 \ \rightarrow \ 2^x+2 \cdot 2^x=12 \ \rightarrow \ y+2y=12 \ \rightarrow \ y=4$

Ahora hay que deshacer el cambio de variable:

$2^x=y \ \rightarrow \ 2^x=4 \ \rightarrow \ 2^x=2^2 \ \rightarrow \ x=2$

Solución: $x=2\;$