Plantilla:Figuras semejantes
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| - | ==Triángulos semejantes== | + | ==Figuras semejantes== |
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| |texto= | |texto= | ||
| - | {{Tabla50 | + | De manera intuitiva, dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. |
| - | |celda1=Dos triángulos son '''semejantes''' si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que: | + | |
| - | 1. Los ángulos correspondientes son iguales: | + | Matematicamente, dos figuras semejantes cumplen: |
| - | <center><math>\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}',\ \widehat{C}=\widehat{C}'</math></center> | + | #Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma). |
| - | 2. Los segmentos correspondientes son proporcionales: | + | #Los segmentos correspondientes son proporcionales. |
| - | <center><math>\frac {\overline{A'B'}} {\overline{AB}} = \frac {\overline{A'C'}} {\overline{AC}} = \frac {\overline{B'C'}} {\overline{BC}}=r</math></center> | + | |
| - | donde <math>r\;\!</math>, se la '''razón de semejanza'''. | + | Se llama '''razón de semejanza''' o '''escala''', <math>r\;\!</math>, al cociente entre dos longitudes correspondientes. |
| - | |celda2=<center>[[Imagen:triangulos_semejantes.png|420px]]</center> | + | |
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| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | ==Teorema de Tales== | + | {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Figuras semejantes''|cuerpo= |
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| - | |celda1= | + | |
| - | Dos rectas d y d', que se cortan en un punto O, cortadas por rectas paralelas AB y A'B', determinan segmentos proporcionales: | + | |
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| - | <center><math> \frac {\overline{OA'}} {\overline{OA}} = \frac {\overline{OB'}} {\overline{OB}}</math></center> | + | |
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| - | ==Triángulos en la posición de Tales== | ||
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| - | {{Tabla75 | ||
| - | |celda1=Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la '''posición de [[Tales de Mileto|Tales]]''' | ||
| - | |celda2=<center>[[Imagen:triangulos_tales.png]]</center> | ||
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| - | |titulo=Triángulos en la posición de Tales | ||
| - | |enunciado=Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales. | ||
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| - | Observa la siguiente escena y mueve el punto verde para desplazar el triángulo amarillo. Podrás comprobar que los ángulos son iguales | ||
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| - | ==Criterios de semejanza de triángulos== | ||
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| - | |titulo=Criterios de semejanza de triángulos | ||
| - | |enunciado= | ||
| - | #Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: <math>\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'</math> | ||
| - | #Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: <math>\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'</math> | ||
| - | #Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: <math>\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}</math> | ||
| - | |demo= | ||
| - | #En efecto, si tienen dos ángulos respectivamente iguales, el tercero también lo tienen igual. Entonces, esos dos triángulos se pueden poner en la posición de Tales y, en consecuencia, son semejantes. | ||
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| - | {{p}} | ||
| - | ==Aplicaciones de los criterios de semejanza== | ||
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| - | {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Aplicaciones de los criterios de semejanza''|cuerpo= | ||
| {{ai_cuerpo | {{ai_cuerpo | ||
| - | |enunciado='''Actividad 1:''' Cálculo de la altura conocida la sombra. | + | |enunciado=1. Comprueba las propiedades de dos figuras semejantes. |
| |actividad= | |actividad= | ||
| - | La distancia del Sol a la Tierra es muy grande comparada con la tierra y con los objetos que hay sobre ella, de forma que podemos considerar que los rayos del Sol sobre objetos próximos son paralelos. | + | Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas: |
| - | En consecuencia, los triángulos que forma tienen sus ángulos iguales y, por tanto, son semejantes. Entonces, al ser los lados de los triángulos proporcionales, tenemos: | + | #Los ángulos correspondientes son todos iguales. |
| + | #Los segmentos correspondientes son proporcionales. | ||
| - | <center><math>\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'}</math></center> | + | En efecto, |
| - | expresión de la cual, conocidos <math>a\;\!</math>, <math>b\;\!</math> y <math>b'\;\!</math>, podemos despejar <math>a\;\!</math>. | + | 1. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos. |
| - | + | ||
| - | <center><math>a=\frac {a' \cdot b}{b'}</math></center> | + | |
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/semej4_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
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| - | |enunciado='''Actividad 2:''' Halla la altura de un árbol con la ayuda de un espejo y una cinta métrica. | + | |
| - | |actividad= | + | |
| - | Los triángulos ABC y A'BC' son semejantes. ¿Por qué? | + | |
| - | + | ||
| - | En el punto B se coloca un espejo de forma que desde A se vea el extremo del árbol a través de él. | + | |
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| - | Calcula la altura del árbol. Pon como distancia AC tu estatura y sitúa el punto C donde te parezca más conveniente. | + | |
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| - | La altura calculada ¿depende de la altura del observador y de donde se sitúe? | + | |
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/semej4_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
| - | }} | + | |
| - | {{ai_cuerpo | + | |
| - | |enunciado='''Actividad 3:''' Semejanza en triángulos rectángulos. | + | |
| - | |actividad= | + | |
| - | El triángulo ABC es rectángulo, y también lo son los triángulos ACM y BCM. Toma las medidas que necesites para comprobar que los dos triángulos coloreados son semejantes. | + | |
| - | También se puede comprobar que son semejantes si nos fijamos en sus ángulos. ¿Por qué? | + | 2. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza. |
| - | Además, cada uno de ellos de los dos triángulos es también semejante al triángulo ABC. ¿Por qué? | + | Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r. |
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/semej4_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| }} | }} | ||
| }} | }} | ||
| + | ===Escala=== | ||
| + | Ya hemos visto antes que escala y razón de semejanza significan lo mismo. El término escala suele utilizarse en planos o mapas. Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100 si 1 cm en el plano son 10 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es <math>r=\cfrac{1}{100}</math>. | ||
Revisión de 11:07 15 ene 2009
Figuras semejantes
De manera intuitiva, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente.
Matematicamente, dos figuras semejantes cumplen:
- Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma).
- Los segmentos correspondientes son proporcionales.
Se llama razón de semejanza o escala, 
, al cociente entre dos longitudes correspondientes.
 Actividad Interactiva: Figuras semejantes
1. Comprueba las propiedades de dos figuras semejantes.
Actividad: Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas:
En efecto, 1. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos. 2. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza. Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r. |
Escala
Ya hemos visto antes que escala y razón de semejanza significan lo mismo. El término escala suele utilizarse en planos o mapas. Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100 si 1 cm en el plano son 10 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es 
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