Composición de funciones (1ºBach)

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Función compuesta

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones $f \colon X \rightarrow Y$ y $g \colon Y \rightarrow Z$ , donde la imagen de $f\;$ está contenida en el dominio de definición de $g\;$ , se define la función compuesta de $f\;$ y $g\;$ como:

$\begin{matrix} g \circ f \colon X & \rightarrow & Z \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow & g(f(x)) \end{matrix}$

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

$\begin{matrix} X & \to & \,\,\,Y\;\; & \to & Z \; \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}$

La expresión $g \circ f$ se lee f compuesta con g. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

g o f, es el resultado de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

Ejemplo: Composición de funciones

Dadas las funciones

$f(x) = x^2 \,$

$g(x) = sen(x) \,$

a) Halla la función $g\;$ compuesta con $f\;$ .

b) Halla la función $f\;$ compuesta con $g\;$ .

Solución:

a) La función $g\;$ compuesta con $f\;$ es:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,$

b) La función $f\;$ compuesta con $g\;$ es:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,$

Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.