Plantilla:Progresiones geométricas

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 12:05 27 sep 2014

Tabla de contenidos

1 Progresiones geométricas

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, $r\;\!$ , que llamaremos razón

Por ejemplo:

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión geométrica de razón $r\;\!$ .

Entonces se cumple que:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!$

$a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!$

$a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!$

........................

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Videotutoriales sobre progesiones geométricas

Progresiones geométricas (11'41") Sinopsis:

Definición de progresión geométrica.
Ejemplos.
Término general de una progresión geométrica.

Ejercicio (4'17") Sinopsis:

Videotutorial

2 ejercicios (6'04") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (7'27") Sinopsis:

Videotutorial

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

$S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}$

Demostración:

Efectuamos la siguiente resta:

$r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r$

$-\;$

$S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

______________________________________________________________________________

$r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r$

por tanto:

$S_n(r-1)=a_n r-a_1\;$

y despejando

$S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}$

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que $0<\; \mid r \mid \; <1$ se obtiene así:

$S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}$

Demostración:

La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis. Lo podremos ver con detalle, más adelante en este tema, en un apartado titulado Algunos límites importantes.

Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito.

$S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}$

Como $0<\; \mid r \mid \; <1$ , cuando n tiende a infinito, $r^n\;$ tiende a 0.

Entonces, $S_n\;$ tiende a $\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$ y a ese valor límite de $S_n\;$ lo llamamos $S_{\infty}$ .

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Progresiones_geom%C3%A9tricas"

 </center>
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Progresiones geométricas''|cuerpo=
+===Videotutoriales sobre progesiones geométricas===
-{{ai_cuerpo
+{{Video_enlace
-|enunciado='''Actividad 1:''' Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones geométricas.
+|titulo1=Progresiones geométricas
-|actividad=
+|duracion=11'41"
-<center><iframe>
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/05-sucesion-geometrica#.VCamUvl_u2E
-url=http://contenidos.santillanaenred.com/wiris2007/html/ex-013.html
+|sinopsis=*Definición de progresión geométrica.
-width=100%
+*Ejemplos.
-height=450
+*Término general de una progresión geométrica.
-name=myframe
-</iframe></center>
-Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.
-<center>[http://contenidos.santillanaenred.com/wiris2007/html/ex-013.html  '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 }}
+{{p}}
+{{Video_enlace
+|titulo1=Ejercicio
+|duracion=4'17"
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0501-ejercicio-15#.VCanTfl_u2E
+|sinopsis=Videotutorial
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace
+|titulo1=2 ejercicios
+|duracion=6'04"
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0502-dos-ejercicios#.VCannPl_u2E
+|sinopsis=Videotutorial
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace
+|titulo1=Ejercicio
+|duracion=7'27"
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0503-ejercicio-11#.VCanxfl_u2E
+|sinopsis=Videotutorial
 }}
 {{p}}
 ===Suma de términos de una progresión geométrica===
 {{Teorema

Plantilla:Progresiones geométricas

De Wikipedia

Revisión de 12:05 27 sep 2014

Tabla de contenidos

Progresiones geométricas

Término general de una progresión geométrica

Videotutoriales sobre progesiones geométricas

Suma de términos de una progresión geométrica

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas