Plantilla:Ecuaciones exponenciales

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Revisión de 18:02 2 sep 2016

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuación exponencial

Resuelve las siguientes ecuaciónes:
a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;
Solución:

a)

3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:
3^{1-x^2}=3^{-3}
Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:
1-x^2=-3\;
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2

 

Soluciones: x_1=2 \, \ x_2=-2

b)

5^{x^2-5x+6}=1 \;
Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:
5^{x^2-5x+6}=5^0 \;
Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:
x^2-5x+6=0 \;
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}


Soluciones: x_1=2 , \ x_2=3;

c)

3^{1-x^2}=2\;

Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:

log \ 3^{1-x^2}= log \ 2
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075

 

Soluciones: x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075

d)

2^x+2^{x+1}=12\;

Haciendo el cambio de variable:
2^x=y \;
tenemos que:
2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;
Y la ecuación de partida queda:

y+2y=12\;
Resolvemos la ecuación de primer grado:
3y=12 \rightarrow y = 4 \;
Y deshacemos el cambio de variable:
y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;

 

Solución: x=2 \;

wolfram

Actividad: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3^x=\sqrt[3]{9} \;
b) 2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \;
c) 9^x-3^x-6=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 3^x=3th root (9) over the reals
b) solve 2^(2x)-5*2^x+4=0 over the reals
c) solve 9^x-3^x-6=0 over the reals

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_exponenciales"
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