Plantilla:Radicales (ampliación)

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===Racionalización de denominadores=== ===Racionalización de denominadores===
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''racionalización''' al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador}}+{{Racionalizacion}}
-====Caso 1: Denominador con raíces cuadradas====+
-Para racionalizar uno radical de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.+
- +
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Caso 1: Denominador con raíces cuadradas''+
-|enunciado=+
-:Racionalizar <math>\frac{{6}}{\sqrt{2}}</math>+
- +
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-En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por <math>\sqrt{2}</math>+
- +
-:<math>\frac{{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2}</math> +
- +
-}}+
- +
-====Caso 2: Denominador con otras raíces====+
-En este caso, los exponentes del radicando del radical por el que se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción será la diferencia entre los exponentes actuales y el índice (o múltiplo del indice más cercano) del radical.+
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-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Caso 2: Denominador con otras raíces''+
-|enunciado=+
-:Racionalizar <math>\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}</math>+
- +
-|sol=+
-En este ejemplo, hay que multiplicar numerador y denominador por <math>\sqrt[5] {a^2b} </math>, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz:+
- +
-:<math>\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}</math>+
-}}+
- +
-====Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces====+
-Para este último caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)+
- +
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces''+
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-:Racionalizar <math>\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}</math>+
- +
-|sol=+
-En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por <math>{\sqrt{2}-\sqrt{3}}</math> (este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados):+
- +
-:<math>\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}</math>+
- +
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-: Racionaliza <math>\frac{{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}</math>+
- +
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-: {{consulta|texto=rationalize 5/(sqrt(3)-sqrt(5))}}+
- +
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+

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Tabla de contenidos

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

ejercicio

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: \sqrt[3]{6000}
Solución:
\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}

ejercicio
Mas ejemplos: 

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Introducción de factores

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

ejercicio

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: 10 \sqrt[3]{6}
Solución:
10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}

ejercicio
Más ejemplos: 

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Introducción y extracción de factores de un radical     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: \sqrt{48}-\sqrt{75}
Solución:
\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}

ejercicio
Más ejemplos: 

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wolfram
Representación de fracciones
wolfram

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

ejercicio

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Reduce a un solo radical \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}
Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}

Finalmente simplificamos:

\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{22} \cdot 5^7}

Racionalización de denominadores

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.

Los dos videotutoriales siguientes resumen lo que vamos a ver en este apartado:

video
Racionalización
Tutorial 1a (17'18")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un monomio, es decir, un único término.

  • 00:00 a 02:50: Explicación del proceso de racionalización.
  • 02:50 a 09:50: Ejemplos donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un monomio en el denominador.
  • 09:50 a 17:18: Ejercicios de racionalización con monomios en el denominador.
Tutorial 1b (17'14")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un binomio, es decir, suma de dos términos.

  • 00:00 a 01:30: Explicación del proceso de racionalización.
  • 01:30 a 09:40: Ejemplo donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un binomio en el denominador.
  • 09:40 a 13:35: Ejercicios de racionalización con binomios en el denominador.
  • 13:35 a 17:14: Ejercicio de racionalización con un trinomio en el denominador.
Tutorial 2 (11'43")     Sinopsis:

Qué es racionalizar y cómo resolver los diferentes casos.

Tutorial 3 (10'37")     Sinopsis:

Cómo se racionalizan los denominadores de las fracciones. Ejemplos.

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

ejercicio

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar \frac{{6}}{\sqrt{2}}

Solución:

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt{2}

\frac{{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2}

video
Racionalización (caso 1)
Ejercicio 1 (6'17")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3}{\sqrt{15}}.

Ejercicio 2 (8'52")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{4}{\sqrt{32}}.

Ejercicio 3 (5'26")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.

Ejercicio 4 (2'55")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{7}{4\sqrt{5}}.

Ejercicio 5 (3'31")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2a}{\sqrt{2ax}}.

Caso 2: Denominador con otras raíces

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice en la que cada exponente de los factores del radicando se calculará como:

  1. La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual.
  2. La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.

ejercicio

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}

Solución:

En este ejemplo, hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt[5] {a^2b}, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz:

\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}

video
Racionalización (caso 2)
Ejercicio 1 (6'02")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt[4]{3}}.

Ejercicio 2 (7'12")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{\sqrt[5]{8}}.

Ejercicio 3 (6'31")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{5}{2\,\sqrt[3]{7}}.

Ejercicio 4 (9'38")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{4}{\sqrt[5]{72}}.

Ejercicio 5 (4'26")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{6}{5\sqrt[3]{3x}}.

Ejercicio 6 (4'39")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{9}{5\sqrt[4]{27x^2}}.

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar fracciones en cuyo denominador aparezcan binomios con alguna raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador, esto es, por la misma expresión en la que solo se le cambia el signo del segundo término del binomio.

ejercicio

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

Solución:

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por {\sqrt{2}-\sqrt{3}} (este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados):

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \, \cdot \, \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} =

    

= \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}

video
Racionalización (caso 3)
Ejercicio 1 (7'26")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}.

Ejercicio 2 (5'54")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}.

Ejercicio 3 (6'46")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3}{3+\sqrt{5}}.

Ejercicio 4 (6'20")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt{7}-1}.

Ejercicio 5 (7'02")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{11}{2\sqrt{3}-1}.

Ejercicio 6 (6'43")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{4}{5\,\sqrt{2}+\sqrt{6}}.

Ejercicio 7 (7'43")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{12}{5\,\sqrt{6}-3\,\sqrt{10}}.

Ejercicio 8 (7'05")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.

Ejercicio 9 (9'20")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}.

Ejercicio 10 (5'12")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{5\sqrt{2}-4\sqrt{3}}.

Ejercicio 11 (3'48")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}.

Ejercicio 12 (7'55")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}.

Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)

Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos:

Suma y diferencia de cubos (8'18")     Sinopsis:

Demostración y ejemplos de las identidades:

  • Suma de cubos: (a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;
  • Diferencia de cubos: (a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;

video
Racionalización (caso 4)
Ejercicio 1 (11'27")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{2}}.

Ejercicio 2 (11'13")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}.

Ejercicio 3 (10'49")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}.

Ejercicio 4 (9'56")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{22}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}.

Actividades

video
Racionalización
Ejercicio 1 (7'48")     Sinopsis:

Racionaliza:

a)\cfrac{6}{\sqrt{2}}\;        b) \cfrac{6}{\sqrt[5]{2^2}}\;        c) \cfrac{1}{\sqrt{2}-2}\;        d) \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;

Ejercicio 2 (8'53")     Sinopsis:

Racionaliza:

a)\cfrac{20}{\sqrt{5}}\;        b) \cfrac{16}{\sqrt[3]{2}}\;        c) \cfrac{22}{3\,\sqrt[5]{4}}\;

Ejercicio 3 (3'35")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3ab}{\sqrt[4]{a^2b^3c}}\;

Ejercicio 4 (2'49")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\;

Ejercicio 5 (5'53")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1}}{a\,\sqrt{a}}\;

Ejercicio 6 (6'27")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;

Ejercicio 7 (10'14")     Sinopsis:

Racionaliza:

a) \cfrac{2}{\sqrt{6}}        b) \cfrac{4}{\sqrt[3]{5}}        c) \cfrac{3}{\sqrt[4]{729}}        d) \cfrac{5}{\sqrt[5]{125}}

Ejercicio 8 (9'34")     Sinopsis:

Racionaliza:

a) \cfrac{1}{\sqrt{2}}        b) \cfrac{1}{\sqrt{x}}        c) \cfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}         d) \cfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}        e) \cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}        f) \cfrac{1}{\sqrt[4]{8}}

Ejercicio 9 (12'31")     Sinopsis:

Racionaliza:

68) \cfrac{2}{\sqrt{7}}        69) \cfrac{1}{\sqrt{2}}        70) \cfrac{1}{\sqrt{5}}        71) \cfrac{5}{2\sqrt{2}}
72) \cfrac{2}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}        73) \cfrac{7}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}        74) \cfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}
Ejercicio 10 (16'44")     Sinopsis:

Racionaliza:

75) \cfrac{8}{6-2\sqrt{3}}        76) \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}        77) \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
78) \cfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}        79) \cfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}        80) \cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}

video
Racionalización
Actividad     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a racionalizar denominadores

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre racionalización.

wolfram
Racionalización
wolfram

Actividad: Racionalización

Racionaliza \frac{{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
rationalize 5/(sqrt(3)-sqrt(5))


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