Distancias en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Distancia ente dos puntos
2 Distancia de un punto a una recta
3 Distancia entre dos rectas
4 Bisectrices del ángulo entre dos rectas

(Pág. 203)

Distancia ente dos puntos

La distancia entre dos puntos $P(x_1,y_1)\,$ y $Q(x_2,y_2)\,$ es igual al módulo del vector $\overrightarrow{PQ}$ :

$d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Actividad Interactiva: Distancia entre dos puntos

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la distancia entre los puntos $P(3,-1)\,$ y $Q(-1,2)\,$ .

Actividad:

$d(PQ)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(-1-3)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Calcula la distancia entre los puntos $P(3,-5)\,$ y $Q(1,4)\,$ y comprueba el resultado en la escena anterior.

Distancia de un punto a una recta

Proposición

La distancia del punto $P(a,b)\,$ a la recta $r: \, Ax+By+C=0$ es:

$d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Demostración:

Sea $R(x_0,y_0)\,$ un punto de la recta.

Dados dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , sabemos que $proy_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|}$

Llamando $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(A,B)$ , $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{RP}=(a-x_0,b-y_0)$

$d(P,R)=|proy_{\overrightarrow{n}}\overrightarrow{RP}|=\cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{RP}|}{|\overrightarrow{n}|}=\cfrac{|(A,B) \cdot (a-x_0,b-y_0)|}{|(A,B)|}=$

$=\cfrac{|A(a-x_0)+B(b-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb-(Ax_0+By_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ya que $Ax_0+By_0=-C\,$ , por ser $R(x_0,y_0)\,$ un punto de la recta.

Ejercicio resuelto: Distancias en el plano

Halla el área del triángulo de vértices A(0,0), B(6,5) y C(2,5).

Solución:

Tomando como base del triángulo el lado BC, tendremos que calcular d(B,C) y d(A, BC) para hallar las medidas de la base y de la altura.

Solución: Área=10 u².

Distancia de un punto a una recta (7´43") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 1 (9´27") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 2 (7´33") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 3 (5´06") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 4 (6´56") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 5 (4´36") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 6 (3´29") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 7 (4´22") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 8 (6´59") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 9 (10´07") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 10 (6´27") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio 11 (7´18") Sinopsis:

Videotutorial

Actividad Interactiva: Distancia de un punto a una recta

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la distancia del punto $P(-5,8)\,$ a la recta $r: \, 2x-6y+7=0$ .

Actividad:

$d(P,r)=\cfrac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cfrac{|2 \cdot (-5)-6 \cdot 8+7|}{\sqrt{2^2+6^2}}=\cfrac{51}{\sqrt{40}}=8.06$

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Calcula la distancia del punto $P(2,-1)\,$ a la recta $r: \, x-3y+5=0$ y comprueba el resultado en la escena anterior.

Distancia entre dos rectas

Distancia entre dos rectas paralelas (6´45") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (3´30") Sinopsis:

Videotutorial

Bisectrices del ángulo entre dos rectas

Bisectrices del ángulo entre dos rectas (5´29") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (7´50") Sinopsis:

Videotutorial

Ejercicio (Incentro de un triángulo) (9´37") Sinopsis:

Videotutorial

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Categorías: Matemáticas | Geometría

 ya que <math>Ax_0+By_0=-C\,</math>, por ser <math>R(x_0,y_0)\,</math> un punto de la recta.
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 ==Distancia entre dos rectas==
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Distancias en el plano (1ºBach)

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