Plantilla:Perímetros y áreas
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La altura de un triángulo de base <math>a\;</math> tiene una longitud <math>b sin(\hat{C})</math>, por tanto siguiendo con la demostración | La altura de un triángulo de base <math>a\;</math> tiene una longitud <math>b sin(\hat{C})</math>, por tanto siguiendo con la demostración | ||
- | :<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math> | + | :<math>A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math> |
:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})</math> | :<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})</math> | ||
:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math> | :<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math> |
Revisión de 19:10 16 nov 2016
Tabla de contenidos |
Cuadrado
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.
Actividad: El cuadrado
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Rectángulo
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.
Actividad: El rectángulo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Paralelogramo
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del paralelogramo y practicar con ella.
Actividad: El paralelogramo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Rombo
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.
Actividad: El rombo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Triángulo
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.
Fórmula de Herón
La superficie de un triángulo de lados ,
,
viene dada por:
![A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,](/wikipedia/images/math/0/6/c/06cb39d6def04419d1209500d50dc1ab.png)
donde es el semiperímetro:
.
Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.
Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.
Supongamos un triángulo de lados ,
,
, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son
,
,
.
Por el teorema del coseno, tenemos que:
Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:
.
La altura de un triángulo de base tiene una longitud
, por tanto siguiendo con la demostración
Actividad: El triángulo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Trapecio
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.
Actividad: El trapecio
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Polígonos regulares
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.
Actividad: Polígonos regulares
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Círculo
Actividad interactiva: Círculo Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia. Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.
Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.
Actividad: Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: Calculo del área y del perímetro de un círculo.
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Actividad: El círculo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Corona circular
Actividad interactiva: Corona circular
1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.
Actividad: Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: Calculo del área de una corona circular
(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)
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Sector circular
La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.
![\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}](/wikipedia/images/math/8/e/7/8e73a898976d01951c91c43c062e18c0.png)
Despejando el área del sector:
![A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}](/wikipedia/images/math/4/d/7/4d7cbb075110a1bf5446e2778eb3debe.png)
de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, , se obtiene la fórmula.
Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.
![\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}](/wikipedia/images/math/6/4/3/643e830348972d76875198ccf5442a5a.png)
Despejando la longitud del sector:
![L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}](/wikipedia/images/math/d/1/4/d147764d5e15b8d57fb1d718b3524877.png)
de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, , se obtiene la fórmula.
Actividad interactiva: Sector circular
1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.
Actividad: Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: Calculo del área de un sector circular
(Mueve el punto B para modificar el ángulo) |
Actividad: El sector circular
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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