Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Indice
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Tabla de contenidos

Funciones lineales

Funciones cuadráticas

Funciones raíz

Funciones de proporcionalidad inversa

Funciones exponenciales

  • Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función exponencial de base a\; como:


\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}


  • La función exponencial de base e = 2,7182...\; (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.
Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R}.
  • Pasan por (0,1)\; y (1,a)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.
  • Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}

  • La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.


  • La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).
Funciones logarítmicas con distintas bases: - En rojo está representada la de base e. - En verde la de base 10. - En púrpura la de base 1.7.
Aumentar
Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
Aumentar
Funciones logarítmicas
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