Plantilla:Reglas de derivación (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 09:40 16 ene 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)

← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 09:48 16 ene 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Derivada de operaciones con funciones)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 43: Línea 43:
::<math>D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;</math> ::<math>D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;</math>
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=
-*<math>f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ 5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2</math>+<math>f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ 5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2</math>
}} }}
{{p}} {{p}}
 +----
*'''Suma de funciones:''' *'''Suma de funciones:'''
::<math>D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;</math> ::<math>D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;</math>
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=
-*<math>f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=12x^3+6x +0=12x^3+6x </math>+<math>f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=</math>
 +::<math>=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;</math>
}} }}
{{p}} {{p}}
 +----
*'''Producto de funciones:''' *'''Producto de funciones:'''
::<math>D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;</math> ::<math>D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;</math>
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=
-*<math>f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x</math>+<math>f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)</math>
 +::<math>=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x</math>
}} }}
 +{{p}}
 +----
*'''Cociente de funciones:''' *'''Cociente de funciones:'''
::<math>D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;</math> ::<math>D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;</math>
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=
 +<math>f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=</math>
 +::<math>=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}</math>
 +}}
 +{{p}}
 +----
*'''Composición de funciones (Regla de la cadena):''' *'''Composición de funciones (Regla de la cadena):'''
::<math>D{g[f(x)]}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;</math> ::<math>D{g[f(x)]}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;</math>
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=
 +<math>f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)</math>
 +::<math>=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x</math>
 +}}
 +{{p}}
 +----
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión de 09:48 16 ene 2017

Hemos visto en el apartado anterior como se obtiene la función derivada de una función. Es un proceso largo y pesado. Existen una serie de reglas, demostradas por medio de ese procedimiento, que nos permitirán aliviar el trabajo del cálculo de la función derivada.

Derivada de las funciones elementales

ejercicio

Reglas de derivación

  • Función constante:
D(k)=0 \, , \ \forall k \in \mathbb{R}
  • Función identidad:
D(x)=1\;
  • Función potencia:
D(x^n)=n \, x^{n-1}\;

  • Funciones trigonométricas directas:
D(sen\,x)=cos \, x
D(cos\,x)=-sen \, x
D(tg\,x)=1+tg^2\,x=\cfrac{1}{cos^2 x}
  • Funciones trigonométricas recíprocas:
D(arc\,sen\,x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
D(arc\,cos\,x)=\cfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
D(arc\,tg\,x)=\cfrac{1}{1+x^2}
  • Funciones exponenciales:
D(e^x)=e^x\;
D(a^x)=a^x \cdot ln\,a

  • Funciones logarítmicas:
D(ln\,x)=\cfrac{1}{x}
D(log_a\,x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,a}

ejercicio
Ejemplos:
  • f(x)=x^5 \ \rightarrow \ f'(x)=5x^4
  • f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{2} \, x^{(\frac{1} {2}-1)}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}
  • f(x)=2^x \ \rightarrow \ f'(x)=2x^\cdot ln \, x
  • f(x)=log_2 \,x \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x} \cdot \cfrac{1}{ln\,2}

Derivada de operaciones con funciones

ejercicio

Reglas de derivación

  • Producto de una función por una constante:
D[k\,f(x)]=k\,f'(x)\;

ejercicio
Ejemplo:

f(x)=5x^3 \ \rightarrow \ 5\,D(x^3)=5 \cdot 3x^2=15x^2

  • Suma de funciones:
D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)\;

ejercicio
Ejemplo:

f(x)=3x^4+3x^2-1 \ \rightarrow \ f'(x)=D(3x^4)+D(3x^2)+D(-1)=

=12x^3+6x +0=12x^3+6x\;

  • Producto de funciones:
D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\;
ejercicio
Ejemplo:

f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)

=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x

  • Cociente de funciones:
D \left[ \cfrac{f(x)}{g(x)} \right]=\cfrac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\;
ejercicio
Ejemplo:

f(x)=\cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ f'(x)=\cfrac{D(sen \, x) \cdot cos \, x -sen \, x \cdot D(cos \, x)}{cos^2x}=

=\cfrac{cos^2 x +sen^2 x}{cos^2 x}=\cfrac{1}{cos^2 x}

  • Composición de funciones (Regla de la cadena):
D{g[f(x)]}=g'[f(x)] \cdot f'(x)\;
ejercicio
Ejemplo:

f(x)=x^3 \cdot cos\,x \ \rightarrow \ f'(x)=D(x^3) \cdot cos \, x +x^3 \cdot D(cos \, x)

=3x^2 \cdot cos \, x - x^3 \cdot sen \, x

Función derivada primera de otra función. Reglas de derivación (9'22")     Sinopsis:

Definición de la función derivada de una función. Las reglas de derivación nos permiten calcular dericvadas sin calcular límites.

Ejemplos (15'36")     Sinopsis:
22 ejemplos sencillos de aplicación de las reglas de derivación.
Derivación de funciones compuestas (6'14")     Sinopsis:

Regla de la cadena

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Reglas_de_derivaci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda