Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando $x~$ se acerca a $c ~$ , si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ , haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , pero sin llegar a $c~$ .

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ del dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ , entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Esto, escrito en notación formal:

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:

Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier $\varepsilon\;$ dado podemos hallar un $\delta\;$ para el cual se cumpla:

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon$ [1]

Tomando $\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon$ será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier $\varepsilon$ dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis $0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon$ .

Dado que

$|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;$

y que , por hipótesis,

$\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon$

queda demostrado [1].

Nótese que bien podríamos haber elegido $\delta=\frac{1}{6}\varepsilon$ o $\delta=\frac{1}{15}\varepsilon$ , por ejemplo. En tanto $\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon$ , siempre podremos demostrar [1].

Obtenido de "http://www.maralboran.org/wikipedia/index.php/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 {{Ejemplo|titulo=Límite de una función en un punto|enunciado=Demostrar que <math>\lim_{x\to 2}(3x-5)=1</math> usando la definición formal de límite.
 |sol=
-Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier <math>\varepsilon</math> dado podemos hallar un <math>\delta</math> para el cual se cumple {{Ecuación|<math>0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon</math>|*}}
+Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier <math>\varepsilon\;</math> dado podemos hallar un <math>\delta\;</math> para el cual se cumpla:
-Tomando <math>\textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon</math> es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
+<center><math>0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon</math>{{b4}} [1]</center>
-Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis <math>\textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>.
+Tomando <math>\delta = \frac{1}{3} \, \varepsilon</math> será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
-Veamos que <math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|</math>, luego por hipótesis <math>\textstyle 3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon</math> y queda demostrado {{Eqnref|*}}.
+Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis <math>0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>.
-Nótese que bien podríamos haber elegido <math>\delta=\frac{1}{6}\varepsilon</math> o <math>\delta=\frac{1}{15}\varepsilon</math>, por ejemplo. En tanto <math>\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon</math>, siempre podremos demostrar {{Eqnref|*}}.
+Dado que
+<center><math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|\;</math></center>
+y que , por hipótesis,
+<center><math>\textstyle 3|x-2|<3 \, \cfrac{1}{3} \, \varepsilon=\varepsilon</math></center>
+queda demostrado [1].
+Nótese que bien podríamos haber elegido <math>\delta=\frac{1}{6}\varepsilon</math> o <math>\delta=\frac{1}{15}\varepsilon</math>, por ejemplo. En tanto <math>\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon</math>, siempre podremos demostrar [1].
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