Aplicaciones de la derivada (2ºBach)

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Indice
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Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

ejercicio

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

  • En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
  • En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

video
Estudio del crecimiento
Tutorial 1a (13'02")     Sinopsis:

Funciones crecientes y decrecientes

Tutorial 1b (7'19")     Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 1a (2'55")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=2x+1\;

Ejercicio 1b (4'01")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=x^2+2x-3\;

Ejercicio 1c (8'31")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\;

Ejercicio 2 (3'10")     Sinopsis:

Demuestra que f(x)=e^{-tg \, \pi \cdot (x-\frac{1}{2})} es positiva y decreciente en el intervalo (0,1).

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

video
Extremos de una función
Tutorial 1a (11'58")     Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos

Tutorial 1b (17'13")     Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos.Ejemplos

Tutorial 2 (23'32")     Sinopsis:

¿Qué son los puntos máximos, mínimos, locales y globales, crecimiento y decrecimiento?

Tutorial 3a (13'46")     Sinopsis:

Determinación de los extremos relativos

Tutorial 3b (14'45")     Sinopsis:

Determinación de máximos y mínimos absolutos

Ejercicio 1 (9'04")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=x^3+2x^2+x-1\;

Ejercicio 2a (13'12")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=2x^3+3x^2-36x\;

Ejercicio 2b (11'57")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=4x^3+3x^2-6x+1\;

Ejercicio 2c (11'34")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de f(x)=x^4-2x^2+3\;

Ejercicio 2d (6'49")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^3-3x+2\;

Ejercicio 2e (7'42")     Sinopsis:

Encuentra el valor de "k" tal que f(x)=x+\cfrac{k}{x}\; tenga un máximo local en x=-2.

Ejercicio 3a (4'58")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^2-3x+2\;

Ejercicio 3b (8'11")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^3-6x^2+9x\;

Ejercicio 3c (9'43")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=\cfrac{2}{x^2-x}\;

Ejercicio 3d (7'52")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x+\sqrt{1-x}\;

Ejercicio 3e (7'02")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x+\cfrac{4}{x}\;

ejercicio

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;, halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:

f'(x)=3x^2-12x+9\;

Puntos singulares:

f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}

Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica. 

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------
Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.

wolfram
Extremos relativos
wolfram

Actividad: Extremos relativos

Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.

a) Halla los máximos relativos de la función y=x(40-x)\;
b) Halla los mínimos relativos de la función y=x^2+2x+1\;
c) Halla los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) de la función y=\cfrac{x^3}{3}-x^2-8x\;.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) maxima x(40-x)
b) minima x^2+2x+1
c) extrema x^3/3-x^2-8x


Utilidad de la segunda derivada

Derivadas de orden superior (16'51")     Sinopsis:
video
Utilidad de la segunda derivada
Concavidad y puntos de inflexión (30'41")     Sinopsis:

Concavidad:

Ejercicio 1 (2'44")     Sinopsis:

Estudia la concavidad de f(x)=5-2x-x^2\;.

Ejercicio 2 (5'20")     Sinopsis:

Estudia la concavidad de f(x)=x+\cfrac{1}{x}.

Ejercicio 3 (8'28")     Sinopsis:

Estudia la concavidad de f(x)=3x^4-4x^3+2\;.

Puntos de inflexión:

Ejercicio 1 (4'07")     Sinopsis:

Estudia la concavidad de f(x)=3x^3-18x\;.

Ejercicio 2 (11'24")     Sinopsis:

Estudia la concavidad de f(x)=\cfrac{x^5}{20}-\cfrac{x^3}{6}+x.

Ejercicio 3 (7'02")     Sinopsis:

Estudia la concavidad de f(x)=\cfrac{x^4}{12}-\cfrac{x^3}{3}+x-2.

Ejercicio 4 (7'30")     Sinopsis:

Hallar "a", "b" y "c" para que la función f(x)=ax^3+x^2+bx+c\; tenga un máximo relativo en (0,3) y un punto de inflexión en x=1.

Máximos y mínimos (usando f "):

Ejercicio 1 (5'16")     Sinopsis:

Estudia los máximos y mínimos de f(x)=(x-1)^2+2x\;.

Ejercicio 2 (9'04")     Sinopsis:

Estudia los máximos y mínimos de No se pudo entender (función desconocida\cfac): f(x)=\cfac{1}{3}x^3-x\; .

Ejercicio 3 (8'59")     Sinopsis:

Estudia los máximos y mínimos de f(x)=2+12x+3x^2-2x^3\;.

Ejercicio 4 (5'33")     Sinopsis:

Estudia los máximos y mínimos de f(x)=-x^4+5\;.

Ejercicio 5 (16'49")     Sinopsis:

Estudia los máximos y mínimos de No se pudo entender (función desconocida\cfac): f(x)=\cfac{x^2-3}{x^3}\; .

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