Ecuaciones de segundo grado

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Tabla de contenidos

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que se puede expresar de la forma:

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

que llamaremos forma general.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación de segundo grado

Pasa a forma general la ecuación:

3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!
Solución:

Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda:

3x-2x^2+5+4x^2-3+x=0\;\!

Agrupando términos semejantes:

2x^2+4x+2=0\;\!

Resolución de la ecuación de segundo grado

ejercicio

Teorema: Fórmula de la ecuación de segundo grado

Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por a\;\!:

x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0

2. Se multiplica y divide por 2\;\! el coeficiente de la x\;\!:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0

3. Se suma alos dos miembros de la igualdad \cfrac{b^2}{4a^2}:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}

4. Se pasa restando a la derecha \cfrac{c}{a}:

x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de \left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2:

\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}

7. Se despeja x:

x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}

8. Se simplifica la expresión:

x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ejercicio

Ejemplo: Resolución de la ecuación de segundo grado

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.
Solución:

Pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos:

Discriminante y número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado a:

\triangle = b^2-4ac

por tanto:

  • Si \triangle <0 la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0 la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0 la ecuación tiene una solución (doble).

ejercicio

Actividad Interactiva: Discriminante de una ecuación de segundo grado

Actividad 1: Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
Actividad:

  1. Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
  2. Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
  3. Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
  4. Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0\;\! es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:

  • b=0\;\!: (ax^2+c=0\;\!)
En este caso las soluciones se obtienen despejando x:
ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • c=0\;\!: (ax^2+bx=0\;\!)
En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.
Solución:

Pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos:

  • Caso 1: b=0\;\!: (ax^2+c=0\;\!)
  • Caso 2: c=0\;\!: (ax^2+bx=0\;\!)

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Problemas

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