Distribuciones muestrales. Teorema central del límite

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Distribución muestral de las proporciones

Vamos a obtener experimentalmente la distribución de las proporciones muestrales. Para ello consideremos el conjunto de figuras:

La proporción poblacional de triángulos es 1/4.

Consideremos todas las muestras de tamaño 2 posibles, mediante muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento). Hallamos la distribución de probabilidad de la proporción muestral (nombrada por $\widehat{p}$ ):

Calculamos su esperanza matemática y la varianza:

$E( \widehat{p})= 0. \frac{9} {16} + 0.5. \frac{6} {16} + 1. \frac{1} {16} = \frac{1} {4}= p$

$V( \widehat{p})= 0^2. \frac{9} {16} + 0.5^2. \frac{6} {16} + 1^2. \frac{1} {16} - ( \frac{1} {4})^2 = \frac{3} {32}= \frac{p.(1-p)} {n}$

El número de éxitos x de una muestra de tamaño n, se distribuye de forma binomial B(n, p); si la aproximamos a una normal será $N( n.p, \sqrt{n.p.(1-p)})$ . Como $p = \frac{x} {n}$ , dividiendo x por n se tiene que:

$\widehat{p} \rightarrow N \left ( p , \sqrt{ \frac{p.(1-p)} {n}}\right )$

Distribución muestral de las medias

Teorema central del límite

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 <center>
-<math> \widehat{p} \Rightarrow N(p , \sqrt{ \frac{p.(1-p)} {n}})
+<math> \widehat{p} \rightarrow N \left ( p , \sqrt{ \frac{p.(1-p)} {n}}\right )
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