Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

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Binomio de Newton

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:

$(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,$

que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k$

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Coeficientes binomiales

Llamaremos coeficientes binomiales a los coeficientes ${n \choose k}$ , de los términos del desarrollo del binomio de Newton.

Propiedad: Relación entre los coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales cumplen la siguiente relación:

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ${n \choose k}$ ordenados en forma triangular.

$\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;$

Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella. (Por la propiedad anterior)

Triángulo de Pascal para n=10.

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

Propiedades

Los coeficientes del desarrollo de (a+b)ⁿ se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
El triángulo de Pascal es simétrico.
La suma de todos los valores de la fila "n" es igual a 2^n.

Demostración:

Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
Esto es así porque ${n\choose {n-p}} = {n\choose p}$ .
Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ es