Plantilla:Función inversa (1ºBach)

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Función inversa o recíproca

Si f\; es una función que lleva elementos de X\; en elementos de Y\;, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f^{-1}\; que realice el camino de vuelta de Y\; a X\;. En ese caso diremos que f^{-1}\; es la función inversa o recíproca de f\;. Formalmente:

Sea f\; una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto X\; y cuya imagen sea el conjunto Y\; (en tal caso f:X \rightarrow Y es biyectiva). Entonces, la función recíproca o inversa de f\;, denotada f^{-1}\;, es la función de dominio Y\; e imagen X\; definida por la siguiente regla:

f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow{}f(x) = y \,\!

ejercicio

Propiedades

Sea f \colon X \rightarrow Y una función y f^{-1}\; su inversa:

  • Las gráficas de f\; y f^{-1}\; son simétricas respecto de la recta y=x\;.
  • La función f^{-1}\;, al igual que f\;, es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por f\; y que cumple:
a) f^{-1} \circ f = I_X
b) f \circ f^{-1}=I_Y

donde I_X\; e I_Y\; son las funciones identidad en X\; e Y\; respectivamente.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
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Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

ejercicio

Procedimiento

Para intentar hallar la expresión analítica de la inversa de y=f(x):

  1. Se despeja (si se puede) la variable "x" para ponerla en función de la variable "y".
  2. Se intercambian las dos incógnitas (donde aparece "x" se pone "y" y viceversa).
  3. La expresión resultante es la de la función inversa de f.

ejercicio

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^2\;:

Solución:

Como la función f(x)=x^2\; no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:

f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}


En la siguiente escena puedes ver f(x)=x^2\; (en verde), f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} (en amarillo), y f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} (en turquesa):


Click aquí si no se ve bien la escena

Función inversa o recíproca     Descripción:

En esta escena podrás introducir la expresión analítica de una función y obtener la expresión analítica de su inversa, así como ver sus respectivas representaciones gráficas. También se te propondrán algunas actividades.

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