Función inversa o recíproca (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función inversa o recíproca
2 Obtención de la expresión analítica de la función inversa
3 Ejercicios propuestos
4 Inversas de las funciones trigonométricas

(Pág. 259)

Función inversa o recíproca

Si $f\;$ es una función que lleva elementos de $X\;$ en elementos de $Y\;$ , en ciertas condiciones será posible definir la aplicación $f^{-1}\;$ que realice el camino de vuelta de $Y\;$ a $X\;$ . En ese caso diremos que $f^{-1}\;$ es la función inversa o recíproca de $f\;$ . Formalmente:

Sea $f\;$ una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto $X\;$ y cuya imagen sea el conjunto $Y\;$ (en tal caso $f:X \rightarrow Y$ es biyectiva). Entonces, la función recíproca o inversa de $f\;$ , denotada $f^{-1}\;$ , es la función de dominio $Y\;$ e imagen $X\;$ definida por la siguiente regla:

$f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow{}f(x) = y \,\!$

Comprendiendo las funciones inversas (6'11") Sinopsis:

Introducción a las funciones inversas.

Propiedades

Sea $f \colon X \rightarrow Y$ una función y $f^{-1}\;$ su inversa:

Las gráficas de $f\;$ y $f^{-1}\;$ son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .
La función $f^{-1}\;$ , al igual que $f\;$ , es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por $f\;$ y que cumple:

a) $f^{-1} \circ f = I_X$

b) $f \circ f^{-1}=I_Y$

donde $I_X\;$ e $I_Y\;$ son las funciones identidad en $X\;$ e $Y\;$ respectivamente.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

Procedimiento

Para intentar hallar la expresión analítica de la inversa de y=f(x):

Se despeja (si se puede) la variable "x" para ponerla en función de la variable "y".
Se intercambian las dos incógnitas (donde aparece "x" se pone "y" y viceversa).
La expresión resultante es la de la función inversa de f.

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

Ejemplo 1 (11'55") Sinopsis:

1 ejemplo sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.

Ejemplos 2 (6'53") Sinopsis:

2 ejemplos sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.

Ejemplos 3 (13'30") Sinopsis:

Algunos ejemplos sobre el cálculo de la función inversa y sobre la composición de funciones.

Ejemplo 4 (8'22") Sinopsis:

Obtención de la función inversa de $f(x)=\cfrac{2x+3}{5-x}\;$ previa demostración de su inyectividad.

Ejemplo 5 (14'07") Sinopsis:

1 ejemplo sobre el cálculo de la función inversa de una función trigonométrica.

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2\;$ :

Solución:

Como la función $f(x)=x^2\;$ no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:

$f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}$

En la siguiente escena puedes ver $f(x)=x^2\;$ (en verde), $f_1^{-1}(x)=\sqrt{x}$ (en amarillo), y $f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x}$ (en turquesa):

Click aquí si no se ve bien la escena

Función inversa o recíproca Descripción:

En esta escena podrás introducir la expresión analítica de una función y obtener la expresión analítica de su inversa, así como ver sus respectivas representaciones gráficas. También se te propondrán algunas actividades.

Obtención del rango o recorrido de una función. (9'33") Sinopsis:

Ejemplo sobre el cálculo del rango o recorrido de una función mediante el cálculo del dominio de su función inversa.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Función inversa o recíproca

(Pág. 259-260)

1 al 6

Inversas de las funciones trigonométricas

La función seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcoseno.

La función arcoseno se define como

$\begin{matrix} f:[-1,1] \rightarrow [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,] \\ \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arcsen(x) \end{matrix}$