Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
Resta: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
Multiplicación: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$
División: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$ , siempre que $c+di\,$ no sea nulo.

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)$
$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)$
$\,(3 + 4i) (2 - 5i)$
$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}$

Solución:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i$
$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i$
$\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i$
$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i$

Actividad interactiva: Operaciones con números complejos

Suma: Efectúa las siguientes sumas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(3 + i) + (1 - 3i)$
$\,(-5 + 3i) + (6 + 4i)$
$\,(5 - 4i) + (-1 - i)$
$\,(-3 + 4i)+(3 + i)$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la suma de dos complejos por el "método del paralelogramo"

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

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Resta: Efectúa las siguientes restas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(-5 + 3i) - (4 + 2i)$
$\,(5 -2i) -(1+ 4i)$
$\,(5 - 4i) - (-1 - i)$
$\,(-3 + 4i)-(3 - 2i)$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la resta de dos complejos por el "método del paralelogramo"

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

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Otro modo de restar números complejos es sumar el opuesto: puedes comprobarlo en la siguiente figura:

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Producto: Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(-2 -2i) (1 + 3i)$
$\,(2 + 3i)(5-6i)$
$\,(2+3i)(-2-3i)$
$\,(-1-2i)(-1+2i)$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0).

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

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División: Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:

$\,(2+4i):(4-2i)$
$\,(1-4i):(3+i)$
$\,(5+i):(-2-i)$
$\,(4-2i):i$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos.

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

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Propiedades de las operaciones con números complejos

El 0 es el elemento neutro de la suma.
Todo número complejo, $a+bi\,$ , tiene un opuesto, $-a-bi\,$
El 1 es el elemento neutro del producto.
Todo número complejo, $a+bi\,$ , distinto de 0, tiene inverso, $\cfrac{1}{a+bi}$ :