Plantilla:Radicales (ampliación)

De Wikipedia

Revisión de fecha 09:12 13 sep 2016; Ver revisión actual
← Revisión anterior | Revisión siguiente →

Tabla de contenidos

1 Extracción e introducción de factores en un radical
- 1.1 Extracción de factores
- 1.2 Introducción de factores
2 Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
3 Producto y cocientes de radicales de distinto índice
4 Racionalización de denominadores
5 Caso 1: Denominador con raíces cuadradas
6 Caso 2: Denominador con otras raíces
7 Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas
8 Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)
9 Actividades

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: $\sqrt[3]{6000}$

Solución:

$\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}$

Mas ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Click aquí si no se ve bien la escena

Introducción de factores

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: $10 \sqrt[3]{6}$

Solución:

$10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}$

Más ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Click aquí si no se ve bien la escena

Introducción y extracción de factores de un radical Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: $\sqrt{48}-\sqrt{75}$

Solución:

$\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}$

Más ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Click aquí si no se ve bien la escena

Representación de fracciones

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica $\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Click aquí si no se ve bien la escena

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Reduce a un solo radical $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}$

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

$\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}$

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

$\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}$

Finalmente simplificamos:

$\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{22} \cdot 5^7}$

Racionalización de denominadores

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.

Los dos videotutoriales siguientes resumen lo que vamos a ver en este apartado:

Racionalización

Tutorial 1a (17'18") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un monomio, es decir, un único término.

00:00 a 02:50: Explicación del proceso de racionalización.
02:50 a 09:50: Ejemplos donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un monomio en el denominador.
09:50 a 17:18: Ejercicios de racionalización con monomios en el denominador.

Tutorial 1b (17'14") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un binomio, es decir, suma de dos términos.

00:00 a 01:30: Explicación del proceso de racionalización.
01:30 a 09:40: Ejemplo donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un binomio en el denominador.
09:40 a 13:35: Ejercicios de racionalización con binomios en el denominador.
13:35 a 17:14: Ejercicio de racionalización con un trinomio en el denominador.

Tutorial 2 (11'43") Sinopsis:

Qué es racionalizar y cómo resolver los diferentes casos.

Tutorial 3 (10'37") Sinopsis:

Cómo se racionalizan los denominadores de las fracciones. Ejemplos.

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar $\frac{{6}}{\sqrt{2}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{2}$

$\frac{{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2}$

Racionalización (caso 1)

Ejercicio 1 (6'17") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3}{\sqrt{15}}$ .

Ejercicio 2 (8'52") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{4}{\sqrt{32}}$ .

Ejercicio 3 (5'26") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 4 (2'55") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{7}{4\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 5 (3'31") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2a}{\sqrt{2ax}}$ .

Caso 2: Denominador con otras raíces

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice en la que cada exponente de los factores del radicando se calculará como:

La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual.
La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$

Solución:

En este ejemplo, hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt[5] {a^2b}$ , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz:

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}$

Racionalización (caso 2)

Ejercicio 1 (6'02") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt[4]{3}}$ .

Ejercicio 2 (7'12") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{\sqrt[5]{8}}$ .

Ejercicio 3 (6'31") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{5}{2\,\sqrt[3]{7}}$ .

Ejercicio 4 (9'38") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{4}{\sqrt[5]{72}}$ .

Ejercicio 5 (4'26") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{6}{5\sqrt[3]{3x}}$ .

Ejercicio 6 (4'39") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{9}{5\sqrt[4]{27x^2}}$ .

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas

Procedimiento

Para racionalizar fracciones en cuyo denominador aparezcan binomios con alguna raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador, esto es, por la misma expresión en la que solo se le cambia el signo del segundo término del binomio.

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ (este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados):

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \, \cdot \, \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} =$

$= \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$

Racionalización (caso 3)

Ejercicio 1 (7'26") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ .

Ejercicio 2 (5'54") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ .

Ejercicio 3 (6'46") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3}{3+\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 4 (6'20") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt{7}-1}$ .

Ejercicio 5 (7'02") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{11}{2\sqrt{3}-1}$ .

Ejercicio 6 (6'43") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{4}{5\,\sqrt{2}+\sqrt{6}}$ .

Ejercicio 7 (7'43") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{12}{5\,\sqrt{6}-3\,\sqrt{10}}$ .

Ejercicio 8 (7'05") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ .

Ejercicio 9 (9'20") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 10 (5'12") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{5\sqrt{2}-4\sqrt{3}}$ .

Ejercicio 11 (3'48") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ .

Ejercicio 12 (7'55") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}$ .

Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)

Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos:

Suma y diferencia de cubos (8'18") Sinopsis:

Demostración y ejemplos de las identidades:

Suma de cubos: $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;$
Diferencia de cubos: $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Racionalización (caso 4)

Ejercicio 1 (11'27") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{2}}$ .

Ejercicio 2 (11'13") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}$ .

Ejercicio 3 (10'49") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}$ .

Ejercicio 4 (9'56") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{22}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}$ .

Actividades

Racionalización

Ejercicio 1 (7'48") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{6}{\sqrt{2}}\;$ b) $\cfrac{6}{\sqrt[5]{2^2}}\;$ c) $\cfrac{1}{\sqrt{2}-2}\;$ d) $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;$

Ejercicio 2 (8'53") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{20}{\sqrt{5}}\;$ b) $\cfrac{16}{\sqrt[3]{2}}\;$ c) $\cfrac{22}{3\,\sqrt[5]{4}}\;$

Ejercicio 3 (3'35") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3ab}{\sqrt[4]{a^2b^3c}}\;$

Ejercicio 4 (2'49") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\;$

Ejercicio 5 (5'53") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1}}{a\,\sqrt{a}}\;$

Ejercicio 6 (6'27") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;$

Ejercicio 7 (10'14") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{2}{\sqrt{6}}$ b) $\cfrac{4}{\sqrt[3]{5}}$ c) $\cfrac{3}{\sqrt[4]{729}}$ d) $\cfrac{5}{\sqrt[5]{125}}$

Ejercicio 8 (9'34") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ b) $\cfrac{1}{\sqrt{x}}$ c) $\cfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ d) $\cfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ e) $\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ f) $\cfrac{1}{\sqrt[4]{8}}$