Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

(Pág. 90)

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}

ejercicio

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) 4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!
b) 6x^4y : 2ax^3 \;\!
Solución:

a) 4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2

b) 6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios P(x)\; (dividendo) y Q(x)\; (divisor) de modo que el grado de P(x)\; sea mayor o igual que el grado de Q(x)\; y el grado de Q(x)\; sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios C(x)\; (cociente) y R(x)\; (resto) tales que:

P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

  • El grado de C(x)\; es igual a la diferencia entre los grados de P(x)\; y Q(x)\;, mientras que el grado de R(x)\; será, como máximo, un grado menor que Q(x)\;.
  • Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

ejercicio

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;
Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;
Solución:
\begin{matrix} ~~~3x^{4} - 2x^3 + 4x^2 + 2x - 3 \quad | \quad x^{2} - 2 \, x - 1 \quad \\ ~~~\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; \, \, \, |-------- \quad \quad \\ -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 \qquad \qquad \quad \quad 3x^{2} + 4x +15 \; \, \\ -------- \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ 4x^3 + 7x^2 + 2x -3 \qquad \qquad \quad \\ -4x^3 + 8x^2 + 4x \qquad \qquad \qquad \quad \; \, \\ ---------- \qquad \qquad \qquad \\ ~15x^2 + ~6x -~3 \quad \quad \; \, \\ -15x^2 + 30x + 15 \quad \quad \; \, \, \\ --------- \qquad \quad \\ \quad \ 36x+12 \end{matrix}

video
División de polinomios
Tutorial 1 (6´42")     Sinopsis:

División de polinomios. Ejemplos.

Tutorial 2 (8´32")     Sinopsis:

Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).

Tutorial 3 (17´13")     Sinopsis:

Cómo se hace la división de polinomios

Tutorial 4 (10´24")     Sinopsis:

División de polinomios

Ejercicio 1 (19'10")     Sinopsis:

Calcula:

a) (4x^3+2x^2-4x+3):(2x^2-x+1)\;

b) (3x^4-6x^3-2x+1):(3x^2-2)\;

Ejercicio 2 (10'30")     Sinopsis:

Calcula: (6x^5-5x^3-35x-14x^2+23x^4+20):(3x^3-5+x^2)\;

Ejercicio 3 (9'45")     Sinopsis:

Calcula: (4x^4+13x^3+13x^2+8x-5):(4x^2+x-2)\;

Ejercicio 4 (12'15")     Sinopsis:

Calcula: (8x^4-5x^2+9x+2x^3-7):(2x^2+x-3)\;

Ejercicio 5 (12´09")     Sinopsis:

Calcula:

a) (7x^3-5x^2+3x^5+8x^4+2x-5):(2x^2-1+x^3)\;

b) (5x^4+6x^3+8x^2+2x-1):(2x^5+x^3)\;

Ejercicio 6 (9'59")     Sinopsis:

Calcula: (37u^3-15u-8u^2-20u^5):(4u^2-5)\;

Ejercicio 7 (8´45")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios entre binomios:

1a) (x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;
1b) (x^5-4x^3+x+1):(x^2-1)\;
1c) (x^6-1):(x^2-1)\;
Ejercicio 8 (13'34")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

2a) (x^2+2x+1):x\;
2b) (x^3+2x^2+4x+2):x^2\;
2c) (4x^6+2x^5-2x^4):2x^2\;
2d) (x^5+5x^4+2x^3+13x^2+13x+2):(x^3+3x-2)\;
2e) (3x^4+x^3+5x^2+x-5):(x^2-3x+1)\;
Ejercicio 9 (13'26")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

3a) (x^6+5x^4+3x^2-2x):(x^2-x+3)\;
3b) (x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;
Ejercicio 10 (12'27")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

3c) (x^6+2x^5-3x^4+6x-8):(x-3)\;
3d) (x^3-+x^2+x-1):(x^2-1)\;
Ejercicio 11 (10'46")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

4a) (x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;
4b) (2x^4+3x^2+6x-7):(x-1)\;
4c) (x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;
4d) (x^3+x^2-x-2):(x-1)\;
Ejercicio 12 (9'47")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

5a) (2x^6+10x^4-3x^3+2x^2-6):6x^4\;
5b) (\cfrac{6}{5}x^6+\cfrac{4}{3}x^4+2x^2-\cfrac{6}{3}):6x^4\;
5c) (3x^4+10x^3-8x^2+6x):x^2\;
5d) (\cfrac{1}{2}x^3+6x^2-3x+8):\cfrac{1}{3}x\;
Ejercicio 13 (10'20")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

6a) (4x^2-6x-4):(x-2)\;
6b) (8x^5-4x^4-3x^2+6x-1):(x^3+3x-1)\;
6c) (\cfrac{4}{3}x^3+\cfrac{2}{5}x^2-6x+7):(x^2-5)\;
6d) (x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;
Ejercicio 14 (10'27")     Sinopsis:

Indica qué divisiones de polinomios son exactas:

7a) (x^3+5x-1):(x+3)\;
7b) (x^4-1):(x+1)\;
7c) (x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;
7d) (x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;
Ejercicio 15 (14'53")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

8a) (x^3-6x^2-5x-88):(x-8)\;
8b) (3x^5+7x^4-3x^2+5):(x-6)\;
9a) (x^5-32):(x+2)\;
9b) (x^5-32):(x-2)\;
9c) (x^4-16):(x+2)\;
Ejercicio 16 (12'41")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

9d) (x^3-8):(x-2)\;
9e) (x^3-8):(x+2)\;
9f) (x^3+8):(x-2)\;
9g) (x^3+8):(x+2)\;
9h) (x^3-27):(x-3)\;
9i) (x^3-27):(x+3)\;
9j) (x^4+1):(x+1)\;
Ejercicios 17 (7´08")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios:

a) (3x^3+x^2-4x+7):(x^2-5x+3)\;
b) (x^4+5x^3-2x+1):(3x^2+4)\;

video
Método de Horner
Tutorial (12´03)     Sinopsis:

Método de Horner para la división de polinomios

Ejercicio 1 (8´18)     Sinopsis:

Calcula: (5x^3+2x^2+1):(x^2+2+2x)\;

Ejercicio 2 (9´27)     Sinopsis:

Halla el resto de la división:

5x^4 :(x^2-2x-3)\;
Ejercicio 3 (9´01)     Sinopsis:

Halla el resto de la división

(8x^3+4x^2-6mx+15):(2x-1)\;

sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.

Autoevaluación: División de polinomios     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.

wolfram
División de polinomios
wolfram

Actividad: División de polinomios

Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

    x^3-4x^2+x+6):(x-1)\;
Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

quotient and remainder (x^3-4x^2+x+6)/(x-1)

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

ejercicio

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

entre el binomio

Q(x)=x-r\,\!

para obtener el cociente

C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

y el resto s\;.

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x)\; y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r\; en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, a_n\;, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes b_{n-1}\;:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}


Los valores b_i\; son los coeficientes del polinomio cociente C(x)\;, cuyo grado será un grado menor que el del dividendo P(x)\;. El resto será s\;.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!
Solución:
   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

  • Cociente de la división: C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!
  • Resto: r=67\,\!

Operaciones:
  • 2 \cdot 7=14\,\!
  • -5+14=9\,\!
  • 2 \cdot 9 =18\,\!
  • -4+18=14\,\!
  • 2\cdot 14=28\,\!
  • 6+28=34\,\!
  • 2 \cdot 34=68\,\!
  • -1+68=67\,\!

video
Regla de Ruffini
Tutorial 1 (5´53")     Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48")     Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16")     Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Tutorial 4 (10´38")     Sinopsis:

Cómo se aplica la Regla de Ruffini.

Tutorial 5 (5´26")     Sinopsis:

División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).

Ejercicio 1 (5'14")     Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39")     Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07)     Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57")     Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50")     Sinopsis:

Divide 4x^4-5x^2-3x+11\; entre x-2\;.

Ejercicio 6 (12´03)     Sinopsis:

a) Divide -ax^3+a^3x-1\; entre x-a\;

b) Divide 6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\; entre x^{10}-7\;

Ejercicio 7 (14´17")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1a) (x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;
1b) (x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;
1c) (x^6+2x^5-3x^4+x-8):(x-3)\;
1d) (x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;
1e) (x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;
1f) (x^3+x^2-x-2):(x-1)\;
Ejercicio 8 (13´24")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1g) (4x^2-6x-4):(x-2)\;
1h) (x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;
1i) (x^3+5x-1):(x+3)\;
1j) (x^4-1):(x+1)\;
1k) (x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;
1l) (x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;
Ejercicio 9 (10´40")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2a) (x^5-32):(x+2)\;
2b) (x^5-32):(x-2)\;
2c) (x^4-16):(x+2)\;
2d) (x^3-8):(x-2)\;
2e) (x^3-8):(x+2)\;
Ejercicio 10 (9´14")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2f) (x^3+8):(x-2)\;
2g) (x^3+8):(x+2)\;
2h) (x^3-27):(x-3)\;
2i) (x^3-27):(x+3)\;
2j) (x^4+1):(x+1)\;
Ejercicio 11 (4´13")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

a) (-3x^4+6x^2-x+2):(x+3)\;
b) (x^3+4x^2+x-6):(x-1)\;
c) (-x^3+5):(x+2)\;

Autoevaluación: Regla de Ruffini     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini

Videotutoriales

Plantilla:Videotutoriales: división de polinomios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios

(Pág. 87)

6; 7

(Pág. 91)

1, 2

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