Aplicaciones de la derivada (2ºBach)

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Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Estudio del crecimiento

Tutorial 1a (13'02") Sinopsis:

Funciones crecientes y decrecientes

Tutorial 1b (7'19") Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 1a (2'55") Sinopsis:

Estudia el crecimiento de $f(x)=2x+1\;$

Ejercicio 1b (4'01") Sinopsis:

Estudia el crecimiento de $f(x)=x^2+2x-3\;$

Ejercicio 1c (8'31") Sinopsis:

Estudia el crecimiento de $f(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\;$

Ejercicio 2 (3'10") Sinopsis:

Demuestra que $f(x)=e^{-tg \, \pi \cdot (x-\frac{1}{2})}$ es positiva y decreciente en el intervalo (0,1).

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

Extremos de una función

Tutorial 1a (11'58") Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos

Tutorial 1b (17'13") Sinopsis:

Monotonía y extremos relativos.Ejemplos

Tutorial 2 (23'32") Sinopsis:

¿Qué son los puntos máximos, mínimos, locales y globales, crecimiento y decrecimiento?

Tutorial 3a (13'46") Sinopsis:

Determinación de los extremos relativos

Tutorial 3b (14'45") Sinopsis:

Determinación de máximos y mínimos absolutos

Ejercicio 1 (9'04") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=x^3+2x^2+x-1\;$

Ejercicio 2a (13'12") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=2x^3+3x^2-36x\;$

Ejercicio 2b (11'57") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=4x^3+3x^2-6x+1\;$

Ejercicio 2c (11'34") Sinopsis:

Estudia el crecimiento y los puntos extremos de $f(x)=x^4-2x^2+3\;$

Ejercicio 2d (6'49") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^3-3x+2\;$

Ejercicio 2e (7'42") Sinopsis:

Encuentra el valor de "k" tal que $f(x)=x+\cfrac{k}{x}\;$ tenga un máximo local en x=-2.

Ejercicio 3a (4'58") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^2-3x+2\;$

Ejercicio 3b (8'11") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x^3-6x^2+9x\;$

Ejercicio 3c (9'43") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=\cfrac{2}{x^2-x}\;$

Ejercicio 3d (7'52") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x+\sqrt{1-x}\;$

Ejercicio 3e (7'02") Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de $f(x)=x+\cfrac{4}{x}\;$

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función $f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;$ , halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:

$f'(x)=3x^2-12x+9\;$

Puntos singulares:

$f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}$

Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica.

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------

Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.

Extremos relativos

Actividad: Extremos relativos

Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.

a) Halla los máximos relativos de la función $y=x(40-x)\;$