Radicales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Raíces
- 1.1 La raíz como potencia de exponente fraccionario
2 Radicales

Raíces

Sdefine raíz n-sima de un número real $a\;\!$ (y se representa por $\sqrt[n]{a}$ ) como otro número real $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ . $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$

Es decir:

$b=\sqrt[n]{a} \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ , índice y $b\;\!$ es la raíz.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, $a\;\!$ , y el exponente es $\cfrac{1}{n}$ , siendo $n\;\!$ el índice de la raíz. Ésto es:

$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$

De forma similar, también se cumple:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.

$(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a$

Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

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Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:

$a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

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Radicales

Definición

Se llama radical a cualquier expresión en la que aparezcan raíces

Operaciones con radicales del mismo índice

Producto:

Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Cociente:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Potencia:

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Radical:

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Radicales

Actividad 1. Operaciones con radicales del mismo índice.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Ejemplos:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$
$3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)
$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Introducción de factores

Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical

Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Categorías: Matemáticas | Números